[論文レビュー] How robust is quicksort average complexity?

Suman Kumar Sourabh, Soubhik Chakraborty|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2008

Algorithms and Data Compression参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、6つの標準確率分布における性能を分析することで、クイックソートの平均ケース時間計算量のロバスト性を調査する。その結果、平均ケース計算量が支持されるのは、一様分布、指数分布、標準正規分布のみであり、他の分布では最悪ケースの振る舞いを示すことが判明した。これは、クイックソートの平均ケース解析が一般的な分布において広くロバストではないことを示唆している。

ABSTRACT

The paper questions the robustness of average case time complexity of the fast and popular quicksort algorithm. Among the six standard probability distributions examined in the paper, only continuous uniform, exponential and standard normal are supporting it whereas the others are supporting the worst case complexity measure. To the question -why are we getting the worst case complexity measure each time the average case measure is discredited? -- one logical answer is average case complexity under the universal distribution equals worst case complexity. This answer, which is hard to challenge, however gives no idea as to which of the standard probability distributions come under the umbrella of universality. The morale is that average case complexity measures, in cases where they are different from those in worst case, should be deemed as robust provided only they get the support from at least the standard probability distributions, both discrete and continuous. Regretfully, this is not the case with quicksort.

研究の動機と目的

• クイックソートの平均ケース時間計算量が、さまざまな確率分布にわたってもロバストに保たれるかどうかを評価すること。
• 標準分布のうち、どの分布で平均ケース計算量が成立し、どの分布で最悪ケースの振る舞いに発展するかを特定すること。
• 平均ケース計算量が普遍的に適用可能でない理由の理論的根拠を明らかにすること。
• 一般的な分布からの支持が欠如する場合に、平均ケース計算量が信頼できるパフォーマンス指標として有効かどうかを評価すること。

提案手法

• 著者らは、連続一様分布、指数分布、標準正規分布、ベルヌーイ分布、二項分布、幾何分布の6つの標準確率分布におけるクイックソートの期待時間計算量を分析する。
• 各分布におけるクイックソートの比較回数の期待値を計算し、平均ケース計算量が成立するかどうかを評価する。
• 分析は、期待される比較回数が理論的な平均ケースO(n log n)と一致するか、それとも最悪ケースO(n²)に近づくかに焦点を当てる。
• 漸近的解析と確率的モデリングを用いて、異なる分布間での期待パフォーマンスを比較する。
• 「普遍性」の概念を用いて、特定の分布では平均ケース計算量が最悪ケース計算量に等しくなる理由を説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの標準確率分布において、クイックソートはその平均ケース時間計算量を維持するか？
• RQ2 なぜ平均ケース計算量が一様分布、指数分布、正規分布以外の分布では成立しなくなるのか？
• RQ3 平均ケース計算量が限定された分布のセットでのみ成立する場合、そのロバスト性はどの程度と見なせるか？
• RQ4 平均ケース計算量が普遍分布下で最悪ケース計算量に等しくなる理論的根拠はあるか？

主な発見

• クイックソートの平均ケース時間計算量O(n log n)は、連続一様分布、指数分布、標準正規分布の3つに限って支持される。
• 残りの3つの分布（ベルヌーイ分布、二項分布、幾何分布）では、期待される比較回数が最悪ケースO(n²)の計算量と一致する。
• 標準分布にわたる平均ケース解析の成立不成立が、そのパフォーマンス指標としてのロバスト性を損なう。
• 本稿では、普遍分布下では平均ケース計算量が最悪ケース計算量に等しくなる可能性があると提言しているが、これは一般的な分布からの実用的サポートが欠如している理論的説明である。