[論文レビュー] How viable is quantum annealing for solving linear algebra problems?

Ajinkya Borle, Samuel J. Lomonaco|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、線形最小二乗（LLS）および一次方程式系（LSE）を解くために量子アンニーリングが有効であるかを調査する。断熱的量子計算のシミュレーションを用いて、変数の精度が上昇するにつれて指数的遅延が生じるが、劣悪な条件の系や、行数が列数に比べて著しく多い大規模なLLSに対しては、量子アンニーリングが良好な性能を示すことが判明した。著者らは、量子アンニーリングで初期推定値を生成し、その後で古典的固定点反復法を用いて改善するハイブリッド量子古典的ソルバーを提案。LLSでは約8–9%の改善が得られ、特に後処理を施した場合に顕著で、LLSに対しては有望であることが示唆された。

ABSTRACT

With the increasing popularity of quantum computing and in particular quantum annealing, there has been growing research to evaluate the meta-heuristic for various problems in linear algebra: from linear least squares to matrix and tensor factorization. At the core of this effort is to evaluate quantum annealing for solving linear least squares and linear systems of equations. In this work, we focus on the viability of using quantum annealing for solving these problems. We use simulations based on the adiabatic principle to provide new insights for previously observed phenomena with the D-wave machines, such as quantum annealing being robust against ill-conditioned systems of equations and scaling quite well against the number of rows in a system. We then propose a hybrid approach which uses a quantum annealer to provide a initial guess of the solution $x_0$, which would then be iteratively improved with classical fixed point iteration methods.

研究の動機と目的

• 量子アンニーリングが線形最小二乗（LLS）および一次方程式系（LSE）問題を解くことの妥当性を評価すること。
• 条件数、変数数、方程式数、変数精度といった主要パラメータが、これらの問題を解く際の量子アンニーリングの性能に与える影響を調査すること。
• 特定のハードウェアに依存しない根本的挙動を理解するために、断熱的量子力学的遷移をシミュレートし、D-Waveの実験的観測を超えた結論を支持すること。
• 量子アンニーリングを用いて初期解の推定値を生成し、その後で古典的固定点反復法を用いて改善するハイブリッド量子古典的アプローチを提案・評価すること。
• 古典的ゼロ初期化と比較して、量子支援初期推定値が収束速度および解の精度に与える影響を評価すること。

提案手法

• 断熱的量子計算（AQC）の原理を用いて、LLSおよびLSE問題における量子アンニーリングの進化をモデル化し、ハードウェア特有のバイアスを回避する。
• LLSおよびLSE問題を、O(mn²)（LLS）およびO(n³)（LSE）の三次多項式的変換を用いてQUBO形式に変換し、D-Waveの量子アンニーリングアーキテクチャに埋め込めるようにする。
• イジングモデルとQUBOの等価性を用いて、連続的な線形代数問題を量子アニーラーに適した離散的バイナリ最適化問題に変換する。
• 量子アニーラーが初期解推定値 $x_0^{(q)}$ を生成し、その後でLSMRなどの古典的固定点反復法を用いて改善するハイブリッド量子古典的ソルバーを実装する。
• 量子出力に対してグリーディー降下法による後処理を施し、古典的ソルバーに供給する前の解の品質を向上させる。
• D-Wave 2000QおよびAdvantage 4.1の異なるハードウェアプラットフォーム上で、問題サイズの変化に伴う反復回数および絶対誤差といったパフォーマンス指標を、量子支援初期推定値と古典的初期化の間で比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形最小二乗問題において、変数数、方程式数、条件数が増加するに従って、量子アンニーリングの実行時間はどのように変化するか？
• RQ2 変数精度（ビット幅）の増加が、線形代数問題を解く際の量子アンニーリングの性能に与える影響は何か？
• RQ3 量子アンニーリングは、LLSおよびLSE問題における古典的反復的ソルバーの初期推定値として有用なものを提供できるか？もしそうであるなら、どのような条件下で改善が顕著になるか？
• RQ4 収束速度および解の精度という観点から、LLSとLSE問題におけるハイブリッド量子古典的ソルバーの性能はどのように比較されるか？
• RQ5 D-Wave 2000QとAdvantage 4.1の間で、キュービット接続性や埋め込み効率の違いにより、量子支援初期推定値の有効性が顕著に異なるか？

主な発見

• 量子アンニーリングは、劣悪な条件の一次方程式系において強く性能を発揮し、行数が列数に比べて著しく多い場合には、方程式数の増加に伴い良好にスケーリングする。
• 解の変数の精度（ビット幅）が上昇するにつれて、量子アンニーリングの実行時間が指数的に遅延することが判明し、根本的なスケーリング制限が示唆された。
• 5μsのアンニーリング時間で、量子アンニーリングによる初期推定値を用いたハイブリッド量子古典的アプローチは、LLS問題において反復回数に約8–9%の改善をもたらしたが、問題サイズが大きくなると改善度は低下した。
• LSE問題では、量子支援初期推定値による反復回数の中央値改善は約8%にとどまり、改善度は一貫性に欠け、問題サイズやアンニーリング時間の変化に敏感であった。
• グリーディー降下法による後処理は、特にLLS問題において解の品質を顕著に向上させ、一部のケースではさらなる古典的精錬なしに正確な解が得られた。
• 同じ問題サイズにおいて、Advantage 4.1（APU）プロセッサは、キュービット接続性に優れているため、D-Wave 2000Qを上回る性能を示し、より効率的なマイナー埋め込みと問題サイズのインflation低減を実現した。