[論文レビュー] Howe type duality for metaplectic group acting on symplectic spinor valued forms

Svatopluk Krýsl|arXiv (Cornell University)|May 19, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティックスピン形式値外形式 $\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ に作用するメタプレクティック群 $Mp(\mathbb{V},\omega)$ に対して、ハウ型双対性を確立する。この作用の中心化代数が、超リーレイの代数 $\mathfrak{osp}(1|2)$ と2つの特徴的な作用素によって生成されることを証明し、$Mp(\mathbb{V},\omega)$ と $\mathfrak{osp}(1|2)$ の共同作用における多重度なしの分解が得られる。これは古典的双対性理論をシンプレクティック的および超代数的設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

Let $λ: ilde{G} o G$ be the non-trivial double covering of the symplectic group $G=Sp(V,ω)$ of the symplectic vector space $(V,ω)$ by the metaplectic group $ ilde{G}=Mp(V,ω).$ In this case, $λ$ is also a representation of $ ilde{G}$ on the vector space $V$ and thus, it gives rise to the representation of $ ilde{G}$ on the space of exterior forms $\bigwedge^{\bullet}V^*$ by taking wedge products. Let $S$ be the minimal globalization of the Harish-Chandra module of the complex Segal-Shale-Weil representation of the metaplectic group $ ilde{G}.$ We prove that the associative commutant algebra $\hbox{End}_{ ilde{G}}(\bigwedge^{\bullet}V^*\otimes S)$ of the metaplectic group $ ilde{G}$ acting on the $S$-valued exterior forms is generated by certain representation of the super ortho-symplectic Lie algebra $osp(1|2)$ and two distinguished operators. This establishes a Howe type duality between the metaplectic group and the super Lie algebra $\mathfrak{osp}(1|2).$ Also the space $\bigwedge^{\bullet}V^*\otimes S$ is decomposed wr. to the joint action of $Mp(V,ω)$ and $osp(1|2).$

研究の動機と目的

• メタプレクティック群がシンプレクティックスピン形式値外形式に作用する場合のハウ型双対性を拡張すること。
• ${\mathbf{S}}$ をセガル＝シャーレ＝ヴァイル表現の最小グローバライゼーションとするとき、$\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ に作用するメタプレクティック群の中心化代数を同定すること。
• この中心化代数が $\mathfrak{osp}(1|2)$ と2つの特定の作用素によって生成されることを証明し、超双対性を確立すること。
• $Mp(\mathbb{V},\omega)$ と $\mathfrak{osp}(1|2)$ の共同作用の下で、空間 $\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ を既約成分に分解すること。
• この双対性をシンプレクティックディラック作用素およびラリータ＝シュヴィンジャー作用素に応用し、それらの固有値と固有空間の関係を明らかにすること。

提案手法

• セガル＝シャーレ＝ヴァイル表現のハリシュ＝チャンドラモジュールを最小グローバライゼーション関手で拡張し、メタプレクティック群 $Mp(\mathbb{V},\omega)$ のグローバル表現 $\mathbf{S}$ を得る。
• 外積とメタプレクティック表現を用いて、$Mp(\mathbb{V},\omega)$ が $\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ に作用する様子を分析する。
• 表現論的技法と $\mathfrak{osp}(1|2)$-加群構造を用いて、中心化代数 $\mathrm{End}_{\widetilde{G}}(\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S})$ を計算する。
• 特定の作用素 $F^{\pm}$, $H$, $E^{\pm}$ の $\mathfrak{osp}(1|2)$-不変性とその線形結合の閉包性に依拠した証明を行う。
• 空間 $\bigwedge^{\bullet}(\mathbb{V}^*)^{\mathbb{C}} \otimes \mathbf{S}$ が既約 $(\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}')$-加群の直和に分解されることを示す。
• グロテンディークテンソル積位相と最小グローバライゼーション関手の整合性を用いて、グローバル構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メタプレクティック群がシンプレクティックスピン形式値外形式に作用する場合の中心化代数の構造は何か？
• RQ2 この文脈において、超リーレイ代数 $\mathfrak{osp}(1|2)$ はどのようにしてメタプレクティック群作用の中心化代数として現れるのか？
• RQ3 $Mp(\mathbb{V},\omega)$ と $\mathfrak{osp}(1|2)$ の共同作用が $\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ に作用する場合、その既約成分への分解は可能か？
• RQ4 セガル＝シャーレ＝ヴァイル表現の最小グローバライゼーションが、この双対性を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 この双対性は、メタプレクティック構造を持つ多様体上でのシンプレクティックディラック作用素およびラリータ＝シュヴィンジャー作用素の固有値にどのように関係するか？

主な発見

• $Mp(\mathbb{V},\omega)$ が $\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ に作用する中心化代数は、超リーレイ代数 $\mathfrak{osp}(1|2)$ と2つの特定の作用素によって生成される。
• 空間 $\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ は、$Mp(\mathbb{V},\omega)$ と $\mathfrak{osp}(1|2)$ の共同作用の下で既約表現の直和に分解され、多重度なしの分解が成立する。
• この分解は、$(\mathfrak{g} \times \tilde{K}) \times \mathfrak{g}'$-加群として $\bigoplus_{j=0}^{l}[(E_{jj}^{+} \otimes \mathbb{G}^{j}) \oplus (E_{jj}^{-} \otimes \mathbb{G}^{j})]$ として実現される。
• $\mathfrak{osp}(1|2)$-作用は、$F^{\pm}$, $H$, $E^{\pm}$ によって実現され、これらが $\mathfrak{g}'$-不変かつ線形結合で閉じていることが示された。
• この双対性により、座標に依存しないシンプレクティックディラック作用素およびラリータ＝シュヴィンジャー作用素の解析が可能となり、特にシンプレクティックツイスター作用素 $T_1$ を通じて固有値の関係を明らかにできる。
• 結果として、$\lambda \in \mathrm{Spec}(\mathfrak{D}) \setminus -i l(\mathrm{Kill})$ ならば $\lambda - \frac{1}{l}\lambda \in \mathrm{Spec}(\mathfrak{R})$ であり、$\psi \in \mathrm{Eigen}(\mathfrak{D}) \setminus \mathrm{Kill}$ ならば $T_1\psi \in \mathrm{Eigen}(\mathfrak{R})$ であることが示された。