[論文レビュー] Hyperbolic volume of representations of fundamental groups of cusped 3-manifolds

Stefano Francaviglia|ArXiv.org|May 19, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、穴あき3次元多様体の基本群のPSL(2,ℂ)への表現に対する双曲的体積がwell-definedであることを確立し、それが表現にのみ依存し、理想三角形分割のストレートネッシングを用いて計算可能であることを証明する。主な結果は剛性定理である：もし表現の体積が多様体の双曲的体積と等しければ、その表現は離散的かつ忠実である。これは、非コンパクトな状況へのモストウ剛性の一般化である。

ABSTRACT

Let W be a compact manifold and let ρbe a representation of its fundamental group into PSL(2,C). The volume of ρis defined by taking any ρ-equivariant map from the universal cover of W to H^3 and then by integrating the pull-back of the hyperbolic volume form on a fundamental domain. It turns out that such a volume does not depend on the choice of the equivariant map. Dunfield extended this construction to the case of a non-compact (cusped) manifold M, but he did not prove the volume is well-defined in all cases. We prove here that the volume of a representation is always well-defined and depends only on the representation. We show that this volume can be easily computed by straightening any ideal triangulation of M. We show that the volume of a representation is bounded from above by the relative simplicial volume of M. Finally, we prove a rigidity theorem for representations of the fundamental group of a hyperbolic manifold. Namely, we prove that if M is hyperbolic and vol(ρ)=vol(M) then ρis discrete and faithful.

研究の動機と目的

• 非コンパクトで穴あきの3次元多様体に対する表現の双曲的体積がwell-definedであることを解決すること。
• 擬開発写像を用いて、体積定義をコンパクトな状況から穴あき多様体へ拡張すること。
• 理想三角形分割のストレートネッシングを用いた体積の計算手法を確立すること。
• 剛性定理を証明すること：もし表現の体積が多様体の双曲的体積と等しければ、その表現は離散的かつ忠実である。
• 双曲的体積方程式の解を用いた3次元多様体の双曲的性の基準を提供すること。

提案手法

• 非コンパクトな場合の表現体積を定義するために、擬開発写像を用いる。
• 等変写像および三角形分割に対するストレートネッシングの概念を導入する。
• 体積の挙動を保証し、積分可能性を確保するために、穴あき部分にコーン構成を適用する。
• ホモトピーに関して引き戻しコhomology類が不変であることを利用して、体積の独立性を証明する。
• 相対的単体的体積を表現体積の上界として用いる。
• セリフの双曲化定理および双曲的体積方程式の幾何的解の性質を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あき3次元多様体の基本群の表現に対する双曲的体積は、擬開発写像の選び方に依存せずwell-definedか？
• RQ2 多様体の理想三角形分割をストレートネッシングすることで、表現の体積を計算できるか？
• RQ3 表現の体積と多様体の相対的単体的体積の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 表現の体積と多様体の双曲的体積が等しいとき、どのような条件下で離散的かつ忠実性が保証されるか？
• RQ5 双曲的体積方程式の非ゼロ体積解が存在することは、完全な双曲的構造の存在を保証するか？

主な発見

• 非コンパクトで穴あきの3次元多様体に対し、任意の表現 ρ: π₁(M) → PSL(2,ℂ) に対して、その体積は擬開発写像の選び方に依存せずwell-definedである。
• 任意の理想三角形分割をストレートネッシングし、ストレートネッシングされた単体の体積を合計することで、表現の体積を計算できる。
• 任意の表現 ρ に対して、その体積は v₃ × (M, ∂M) の相対的単体的体積以上に抑えられ、ここで v₃ は ℍ³ 内の正則理想単体の体積である。
• M が完全で、有限体積の双曲的3次元多様体であり、vol(ρ) = vol(M) ならば、ρ は離散的かつ忠実であり、ある φ ∈ PSL(2,ℂ) に対して ρ(γ) = φ∘γ∘φ⁻¹ が成り立つ。
• 双曲的体積方程式の非ゼロ体積解が存在するならば、幾何的解（すなわち完全な双曲的構造）が存在し、最大体積の解は幾何的である。
• ある三角形分割に対する双曲的体積方程式のすべての解が体積ゼロであれば、その多様体は双曲的でないことが示され、非双曲的性の基準が得られる。