[論文レビュー] Hyperbolicity of maximal entropy measures for certain maps isotopic to Anosov

Carlos F. Álvarez|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、2次元の中心バンドルを備えたトーラス 𝕋ᵈ 上の C² 部分的双曲的微分同相写像で、アノソフ微分同相写像にホモトープであるようなクラスについて、エルゴード的で最大エントロピーを持つ測度の双曲性を確立する。ペジン理論とエントロピー分解を用いて、その測度のエントロピーが中心因子写像のトポロジカルエントロピーを上回る限り、その測度は正および負の中心リヤプノフ指数を有することが示され、したがって双曲的である。これは、高次元中心の設定における最大エントロピー測度の双曲的性質に関する核心的問題を解決する。

ABSTRACT

We prove the hyperbolicity of ergodic maximal entropy measures for a class of partially hyperbolic diffeomorphisms of $\mathbb{T}^{d}$, which have a compact two-dimensional center foliation.

研究の動機と目的

• 𝕋ᵈ 上の2次元中心バンドルを有する部分的双曲的微分同相写像に対して、エルゴード的で最大エントロピーを持つ測度が双曲的であるかどうかを特定すること。
• 従来、1次元中心バンドルに対しては確立済みであった最大エントロピー測度に関する結果を、2次元コンpakトな中心フォリエーションへの拡張すること。
• そのような測度が正および負の中心リヤプノフ指数を両方有することを保証する条件を確立すること。
• 中心因子写像の構造およびそのトポロジカルエントロピーが不変測度のエントロピーを制約する役割を分析すること。

提案手法

• トポロジカルエントロピーと測度論的エントロピーを関係付ける変分原理を用いる。
• ペジン理論およびレドレピエ-ヤングのエントロピー公式を適用し、不安定フォリエーションに沿ったエントロピー分解を行う。
• タジビ-ヤンのエントロピー不等式を用いて、不安定フォリエーションに沿った部分エントロピーを因子写像のエントロピーによって上界で制約する。
• 微分同相写像 f とその線形アノソフモデル A 間の半同型から導かれるグローバルホロノミー写像を用い、幾何的構造を保存する。
• ルエールの不等式を適用し、正のリヤプノフ指数の和を測度論的エントロピーの項で上界で制約する。
• 背理法を用いる：中心指数が非正であると仮定すると、エントロピーは htop(Ac) で上界で抑えられ、hμ(f) > k₀ と矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 𝕋ᵈ 上の C² 部分的双曲的微分同相写像で2次元中心バンドルを有する場合、エルゴード的で最大エントロピーを持つ測度が双曲的であるための条件は何か？
• RQ2 中心リヤプノフ指数が非正である測度のエントロピーが、中心因子写像のトポロジカルエントロピーを上回り得るか？
• RQ3 中心バンドルが2次元で、かつ系がアノソフ微分同相写像にホモトープである場合、最大エントロピー測度の双曲的性質は保たれるか？
• RQ4 中心フォリエーションの構造は、最大エントロピー測度のリヤプノフスペクトルにどのように影響するか？

主な発見

• hμ(f) > k₀ である任意のエルゴード的不変測度 μ について、ここで k₀ = htop(Ac) とすると、正および負の中心リヤプノフ指数を両方有する。
• すべての中心リヤプノフ指数が非正である場合、hμ(f) = hπ*μ(fc) ≤ htop(fc) = htop(Ac) となるが、これは hμ(f) > k₀ と矛盾する。
• ゆえに、max{λc₁, 0} + max{λc₂, 0} > 0 が成り立ち、少なくとも1つの正の中心指数が存在する。
• 同様に f⁻¹ を考えるとき、max{−λc₁, 0} + max{−λc₂, 0} > 0 が成り立ち、少なくとも1つの負の中心指数が存在する。
• したがって、μ は正および負の中心リヤプノフ指数を両方有し、双曲的である。
• 特に、このような系のすべての最大エントロピー測度は双曲的である。