[論文レビュー] Hypercomputation: computing more than the Turing machine

Toby Ord|ArXiv.org|Sep 25, 2002

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 54被引用数 54

ひとこと要約

この論文は、チューリング機械が計算可能性の根本的限界を定めるという広く信じられている考えに挑戦し、チューリングの限界を超えるモデルを扱うハイパーコンピュテーションという枠組みを提唱する。非古典的計算モデルのサーベイを行い、それらの理論的・物理的実現可能性を分析し、ゲーデルの不完全性定理やシャイティンのアルゴリズム的ランダムネスの影響を弱める方法を示す。

ABSTRACT

Due to common misconceptions about the Church-Turing thesis, it has been widely assumed that the Turing machine provides an upper bound on what is computable. This is not so. The new field of hypercomputation studies models of computation that can compute more than the Turing machine and addresses their implications. In this report, I survey much of the work that has been done on hypercomputation, explaining how such non-classical models fit into the classical theory of computation and comparing their relative powers. I also examine the physical requirements for such machines to be constructible and the kinds of hypercomputation that may be possible within the universe. Finally, I show how the possibility of hypercomputation weakens the impact of Godel's Incompleteness Theorem and Chaitin's discovery of 'randomness' within arithmetic.

研究の動機と目的

• チューリング機械が計算可能性の最終的限界であると解釈する誤解を解きほぐすこと。
• ハイパーコンピュテーションモデルの多様な種類をサーベイ・分類し、古典的計算可能性理論におけるそれらの相対的な計算能力を評価すること。
• ハイパーコンピュテーションシステムの物理的妥当性を検討し、宇宙における実現可能性を検討すること。
• ハイパーコンピュテーションが数学的論理の基礎的結果、特にゲーデルの不完全性定理とシャイティンのアルゴリズム的ランダムネスに与える影響を調査すること。
• ハイパーコンピュテーションと古典的計算可能性の関係を明確にし、整合的な理論的枠組みを確立すること。

提案手法

• 無限時間チューリング機械、アナログ機械、オракル機械などを含むハイパーコンピュテーションモデルを体系的に分類する。
• 形式的計算可能性理論を用いて、各モデルの計算能力を標準的チューリング機械と比較して分析する。
• 非物理的または非構成可能なリソース（例：無限の時間、完全な測定）を必要としないかを評価することで、物理的実現可能性を検討する。
• 数学的論理の結果を適用し、ハイパーコンピュテーションが停止問題のような決定不能問題を解けることを示す。
• 論理的および情報理論的枠組みを用いて、ハイパーコンピュテーションがゲーデル的不完全性およびアルゴリズム的ランダムネスに与える影響を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チューリング機械の到達不能な問題を解ける計算モデルが存在しうるか？
• RQ2 ハイパーコンピュテーションシステムを構築する際の理論的・物理的制約は何か？
• RQ3 ハイパーコンピュテーションはゲーデルの不完全性定理の妥当性と適用範囲にどのように影響を与えるか？
• RQ4 ハイパーコンピュテーションは、シャイティンが述べる算術におけるアルゴリズム的ランダムネスをどの程度軽減または排除できるか？
• RQ5 ハイパーコンピュテーションモデルは、古典的計算可能性理論とどのように統合され、拡張されるか？

主な発見

• ハイパーコンピュテーションは、チャーチ＝チューリングの thesis が、停止問題のような決定不能問題を解けるマシンの存在を排除しないことを示している。
• 無限時間チューリング機械のような特定のハイパーコンピュテーションモデルは、チューリング機械の到達不能な関数、特に非計算可能実数を計算できる。
• 本論文は、ハイパーコンピュテーションがゲーデル的決定不能な命題の真偽を決定できることを示しており、形式的体系における不完全性の基礎的影響を弱めることを示している。
• アルゴリズム的ランダム列の計算を可能にすることで、ハイパーコンピュテーションはシャイティンの主張、すなわちランダムネスが算術に本質的かつ計算不能であるという主張に挑戦する。
• 有限なリソースや測定の限界といった物理的制約により、大多数のハイパーコンピュテーションモデルは現実の宇宙では実現可能ではない。
• 適切に形式化された場合、ハイパーコンピュテーションの理論的モデルは古典的論理および計算可能性と整合的であり、計算可能性枠組みの整合的拡張であることを示唆している。