[論文レビュー] Hypergeometric expansions of the solutions of the general Heun equation governed by two-term recurrence relations for expansion coefficients

Т. А. Ishkhanyan, T. A. Shahverdyan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、一般Heun方程式の解に対する新しい超幾何級数展開を、Gauss超幾何関数を用いて提示する。展開係数は特定のパラメータ条件下で二項再帰関係に従う。主な貢献は、これらの係数をガンマ関数を用いて明示的に表現し、Clausenの一般化超幾何関数を用いてz=1におけるHeun関数の閉形式評価を可能にしたことにより、終結に基づく閉形式解が得られることにある。

ABSTRACT

We examine the expansions of the solutions of the general Heun equation in terms of the Gauss hypergeometric functions. We present several expansions using functions the forms of which differ from those applied before. In general the coefficients of the expansions obey three-term recurrence relations. However, there exist a certain set of the parameters of the Heun equation for which the recurrence relation becomes two-term. The coefficients of the expansions are then explicitly expressed in terms of the gamma functions and the value adopted by the Heun function at the point z=1 is explicitly calculated in terms of Clausen's generalized hypergeometric function. The conditions for deriving closed-form solutions of the general Heun equation via termination of the series are discussed.

研究の動機と目的

• Gauss超幾何関数を用いた、異なる関数的形態を持つ一般Heun方程式の解の新しい超幾何級数展開を開発すること。
• 三項再帰関係が二項再帰関係に簡略化されるパラメータ集合を同定すること。
• 二項再帰条件の下で、展開係数をガンマ関数の関数として明示的に表現すること。
• 二項再帰条件の下で、Clausenの一般化超幾何関数を用いてz=1におけるHeun関数の値を閉形式で評価すること。
• 級数展開が終結し、閉形式解を生じるための条件を分析すること。

提案手法

• Gauss超幾何関数を用いた、新しい関数的形態を持つHeun方程式の超幾何級数展開の導出。
• 展開係数を支配する再帰関係の分析により、再帰関係が二項に簡略化されるパラメータ領域の同定。
• 再帰関係が二項である場合の展開係数のガンマ関数による明示的評価。
• 二項再帰条件の下で、Clausenの一般化超幾何関数を用いてz=1におけるHeun関数の評価。
• 級数展開が終結する条件の同定により、閉形式解への到達。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Heun方程式の展開係数の再帰関係が三項から二項に簡略化されるパラメータ条件は何か？
• RQ2 再帰関係が二項である場合、展開係数はどのようにガンマ関数の関数として明示的に表現できるか？
• RQ3 再帰関係が二項である場合、z=1におけるHeun関数の閉形式表現は何か？
• RQ4 級数展開が終結し、閉形式解を生じるための必要十分条件は何か？
• RQ5 本稿で用いられる超幾何関数の新しい関数的形態は、従来のアプローチとどのように異なり、どのように改善しているか？

主な発見

• 再帰関係が二項に簡略化される場合、展開係数はガンマ関数を用いて明示的に表現される。
• 二項再帰条件の下で、z=1におけるHeun関数の値はClausenの一般化超幾何関数を用いて閉形式で与えられる。
• 三項再帰関係が二項再帰関係に簡略化される特定のパラメータ集合が存在する。
• 定められたパラメータ制約の下で級数展開が終結し、一般Heun方程式の閉形式解が得られる。
• 本稿で用いられる超幾何関数の関数的形態は、従来の手法とは異なり、Heun方程式を解くための新たな解析的アプローチを可能にしている。