[論文レビュー] Hypergraphs: an introduction and review

Xavier Ouvrard|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2020

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 62被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、ハイパーグラフの包括的レビューを提供し、その数学的基盤を紹介し、複数の定義（インシデントに基づくものと関係的表現）を比較し、二項関係を超えた多項関係をモデル化する際の従来のグラフに対するハイパーグラフの利点を強調している。ハイパーグラフは複数の頂点を結ぶハイパーエッジを許容することで、グラフを一般化しており、インシデント表現を介して双対グラフと同等であることが示されている。また、共同ネットワークや組合せ問題におけるその有用性が強調されている。

ABSTRACT

Hypergraphs were introduced in 1973 by Bergé. This review aims at giving some hints on the main results that we can find in the literature, both on the mathematical side and on their practical usage. Particularly, different definitions of hypergraphs are compared, some unpublished work on the visualisation of large hypergraphs done by the author. This review does not pretend to be exhaustive.

研究の動機と目的

• Berger (1967, 1973)、Voloshin (2009)、Bretto (2013) からの文献から、ハイパーグラフの主要な理論的結果と定義を統合すること。
• 集合ベース、インシデントベース、関係的表現といった異なるハイパーグラフの定義を比較・対比すること。
• ハイパーグラフが、二項関係では不十分な複雑なシステム（例：共同ネットワーク）をモデル化する実用的有用性を調査すること。
• ハイパーグラフとそのインシデント（双対）グラフの構造的同等性を検討し、このような表現の限界を明確にすること。
• 2色塗り分け、彩色数、代表的グラフ構築といった組合せ問題におけるハイパーグラフの役割を調査すること。

提案手法

• 有限な頂点集合 V と、V の空でない部分集合の族 E からなるペア (V, E) として、ハイパーグラフを集合論的定義する。ここで、すべてのハイパーエッジの和集合が V をカバーする。
• 主な3つの定義を比較：標準的な集合ベース定義（Berge）、インシデント関数モデル（Stell, 2012）、および同一の集合に属する頂点とハイパーエッジとを二項関係で結ぶ関係的モデル（Stell, 2012）。
• インシデントグラフ（または König グラフ）の概念を導入し、ハイパーグラフの双対グラフ的表現として、各ハイパーエッジを新しい頂点に写像し、それがその構成要素の頂点と接続される二部グラフを構築する。
• ハイパーグラフにおける双対性の概念を適用し、ハイパーグラフとその双対が同じインシデントグラフを持つことを示し、これにより双対ハイパーグラフをこの表現で区別できないことを示す。
• ハイパーグラフにおける2色塗り分けを分析し、ハイパーエッジ（シングルトンを除く）が単色にならないように頂点を彩色できる場合に、そのハイパーグラフは2色塗り分け可能であると定義する。
• 反例を用いて、すべてのグラフが2一様ハイパーグラフの代表的グラフ（双対の2セクション）であるとは限らないことを示し、特に頂点が2一様性と整合しない方法で2つ以上のクリークに属する場合にその制限が顕在化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合ベース、インシデントベース、関係的表現といった異なるハイパーグラフの定義は、表現力と適用可能性の観点でどのように比較できるか？
• RQ2 ハイパーグラフは、従来のグラフに比べて、多項関係をどの程度自然にモデル化できるか？
• RQ3 特に双対性と同型性の観点から、インシデント（二部）グラフによるハイパーグラフ表現の構造的限界は何か？
• RQ4 与えられたグラフがハイパーグラフの代表的グラフである条件は何か、また、それが不可能となる状況はどのようなものか？
• RQ5 2色塗り分けや彩色数といった概念は、グラフからハイパーグラフへどのように意味的に拡張できるか？

主な発見

• ハイパーグラフは、ハイパーエッジが任意の数の頂点を結ぶことを許容することで、グラフを一般化しており、共同ネットワークなどの多項関係をモデル化するのに適している。
• ハイパーグラフのインシデントグラフは、元のハイパーグラフの構造を保持する二部グラフであるが、双対ハイパーグラフはこの表現では元と区別できない。
• ハイパーグラフが2色塗り分け可能であるとは、頂点を彩色した際に、シングルトンを除くすべてのハイパーエッジが単色にならないことを意味する。一方、すべての真部分集合は2色塗り分け可能だが、自身は2色塗り分け不可能なハイパーグラフは、コンデンサーと呼ばれる。
• 反例により、すべてのグラフが2一様ハイパーグラフの代表的グラフであるとは限らないことが示されており、特に頂点が2一様性と整合しない方法で2つ以上のクリークに属する場合にその制限が顕在化する。
• グラフの彩色数はハイパーグラフ彩色の特別な場合として再解釈できるが、König表現を用いて表現すると、この定式化は複雑になる。
• 関係的定義（MuRelDef）では、頂点とハイパーエッジを二項関係で対称的に扱うが、ハイパーエッジのメンバー関係は構造に暗黙的に入っているため、インシデント関数を介して再構築する必要がある。