[論文レビュー] Hyperholomorphic bundles

Misha Verbitsky|ArXiv.org|Jul 29, 1993

Geometry and complex manifolds被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ハイパーカähler多様体のすべての複素構造に関して正則である接続を備えたベクトル束、すなわちハイパーカ holomorphic バンドルを導入する。このようなバンドルはヤン・ミルズ接続であることを証明し、${\Bbb H}$-不変なチェーン類を備えた安定バンドルはハイパーカ holomorphic 接続を有することが示される。これらのバンドルの変形空間はハイパーカähler的であり、イオネダ積を超えた高次の障害はなく、ベースとなる多様体とは独立である。

ABSTRACT

Hyperholomorphic bundle is a bundle with connection defined over a hyperkaehler manifold such that this connection is holomorphic with respect to all complex structures induced by a hyperkaehler structure. A hyperholomorphic connection is Yang-Mills. If a stable bundle has first two Chern classes invariant with respect to ${\Bbb H}$, then it admits a hyperholomorphic connection. Deformation spaces of hyperholomorphic bundles are hyperkaehler. There are no higher obstructions to a deformation besides Ioneda product. This deformation space does not depend on a base manifold.

研究の動機と目的

• ハイパーカähler多様体上のすべての複素構造に関して正則である接続を備えたバンドル、すなわちハイパーカ holomorphic バンドルを定義し、その性質を研究すること。
• 安定なベクトルバンドルがハイパーカ holomorphic 接続を有するための条件を確立すること。
• ハイパーカ holomorphic バンドルの変形理論を分析し、その変形空間がハイパーカähler的であることを示すこと。
• 変形空間における高次の障害がイオネダ積を超えては存在しないことを証明すること。
• ハイパーカ holomorphic バンドルの変形空間が、下にあるベース多様体に依存しないことを示すこと。

提案手法

• ハイパーカähler構造によって誘導されるすべての複素構造に関して正則である接続を備えたベクトルバンドルを、ハイパーカ holomorphic バンドルと定義する。
• ハイパーカähler構造を用いて、任意のハイパーカ holomorphic 接続が自動的にヤン・ミルズ接続であることを示す。
• 第一および第二チェーン類の安定性および${\Bbb H}$-不変性を用い、ドナルドソン＝ウーレンバック＝ヨウの定理を応用してハイパーカ holomorphic 接続を構成する。
• コーデイラ＝スペンサーゼルを用いてハイパーカ holomorphic バンドルの変形空間を分析し、それがハイパーカähler構造を引き継ぐことを示す。
• 変形の唯一の障害はイオネダ積であり、高次の障害は消えることを証明する。
• 変形空間がベース多様体に依存しないことを示すために、それがチェーン類およびハイパーカähler幾何学にのみ依存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーカähler多様体上の安定なベクトルバンドルがハイパーカ holomorphic 接続を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 ハイパーカ holomorphic バンドルの変形空間は、下にあるハイパーカähler幾何学とどのように関係するか？
• RQ3 ハイパーカ holomorphic バンドルの変形に対する障害の性質は何か？イオネダ積を超えた高次の障害は存在するか？
• RQ4 ハイパーカ holomorphic バンドルの変形空間は、ベース多様体とは独立に定まるか？
• RQ5 すべてのハイパーカ holomorphic 接続は、必然的にヤン・ミルズ接続か？

主な発見

• ハイパーカ holomorphic 接続は、ハイパーカähler多様体上では自動的にヤン・ミルズ接続である。
• 第一および第二チェーン類が四元数代数$\Bbb H$の作用に関して不変である安定バンドルは、ハイパーカ holomorphic 接続を有する。
• ハイパーカ holomorphic バンドルの変形空間自体がハイパーカähler多様体である。
• イオネダ積を超えた障害はなく、高次の障害は消える。
• ハイパーカ holomorphic バンドルの変形空間は、ベースとなるハイパーカähler多様体の選択に依存しない。
• ハイパーカ holomorphic 接続の構成は、ベースの幾何学に依存せず、ハイパーカähler構造およびチェーン類に内在的に依存する。