[論文レビュー] Hyperkaehler structures on total spaces of holomorphic cotangent bundles

D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 1997

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、Kähler多様体 $M$ 上の正則余接 bundle $T^*M$ のゼロ断面の形式的近傍で、$U(1)$-不変なヒルベルト・ケーラー計量が存在することを証明している。この計量は、$M$ 上のKähler計量によって一意に定まる。もし $M$ 上の計量が実解析的であれば、この構造は $T^*M$ 内の $M$ の開近傍で真のヒルベルト・ケーラー計量に拡張され、このような空間についての予想を解決し、既知の例を一般化する。

ABSTRACT

Let $M$ be a Kaehler manifold, and consider the total space $T^*M$ of the cotangent bundle to $M$. We show that in the formal neighborhood of the zero section $M \subset T^*M$ the space $T^*M$ admits a canonical hyperkaehler structure, compatible with the complex and holomorphic symplectic structures on $T^*M$. The associated hyperkaehler metric $h$ coincides with the given Kaehler metric on the zero section $M \subset T^*M$. Moreover, $h$ is invariant under the canonical circle action on $T^*M$ by dilatations along the fibers of $T^*M$ over $M$. We show that a hyperkaehler structure with these properties is unique. When the Kaehler metric on $M$ is real-analytic, we show that this formal hyperkaehler structure can be extended to an open neighborhood of the zero section. We also prove a hyperkaehler analog of the Darboux-Weinstein Theorem. To prove these results, we use the machinery of $R$-Hodge structures, following Deligne and Simpson.

研究の動機と目的

• Kähler多様体 $M$ 上の正則余接バンドル $T^*M$ の全空間にヒルベルト・ケーラー構造が存在することを確立すること。
• そのようなヒルベルト・ケーラー計量が、$M \subset T^*M$ のゼロ断面の形式的近傍で、$M$ 上のKähler計量を拡張することを示すこと。
• $M$ 上の正則シンプレクティック $U(1)$-同相変換に関して、$U(1)$-不変ヒルベルト・ケーラー計量の一意性を証明すること。
• $M$ 上の計量が実解析的である場合、形式的ヒルベルト・ケーラー計量が $T^*M$ 内の $M$ の開近傍で実解析的計量に拡張されることを示すこと。
• Hitchinの、Kähler多様体を $U(1)$-同変ヒルベルト・ケーラー多様体における固定点集合として埋め込むという問いに関連付けること。

提案手法

• $M$ 上のKähler計量と $T^*M$ のファイバーに沿った $U(1)$-不変性を用いて、$T^*M$ のゼロ断面の形式的近傍にヒルベルト・ケーラー計量を構成する。
• $U(1)$-不変性を課すことにより、拡張された計量の一意性を保証し、同変性を用いて解空間を制約する。
• $(2,0)$-曲率とねじれが消える正則接続の理論を適用し、計量そのものに依存せずに計量構造を定義する。
• 層コホホロジーにおける局所化構成を用いて、$U(1)$-同変層の複体のアセイクリック性を証明し、存在証明に不可欠な性質を得る。
• 形式的ダーブルツォーの定理と変形理論を用いて、形式的設定においてKähler構造をヒルベルト・ケーラー構造に持ち上げる。
• $\overline{T}M$ の形式的近傍におけるホッジ多様体構造と、混合ホッジ構造性質を有する実解析的関数の層上の乗法的フィルトレーションの間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のKähler多様体 $M$ 上の正則余接バンドル $T^*M$ は、ゼロ断面の形式的近傍でヒルベルト・ケーラー計量をもつのか？
• RQ2 そのようなヒルベルト・ケーラー計量は、$U(1)$-不変性と基本Kähler計量によって一意に定まるのか？
• RQ3 形式的ヒルベルト・ケーラー計量が、$T^*M$ 内の $M$ の開近傍で実解析的計量に収束する条件は何か？
• RQ4 $\overline{T}M$ 上のホッジ多様体構造と、$M$ 上の実解析的関数の層上の乗法的フィルトレーションの間に、自然な対応があるのか？
• RQ5 任意のKähler多様体は、$U(1)$-同変ヒルベルト・ケーラー多様体における $U(1)$-作用の固定点集合として実現可能か？

主な発見

• $M$ が任意のKähler多様体である限り、$T^*M$ のゼロ断面の形式的近傍に $U(1)$-不変ヒルベルト・ケーラー計量が存在し、基本計量を拡張する。
• このヒルベルト・ケーラー計量は、$U(1)$-不変性の制約のおかげで、$M$ 上の正則シンプレクティック $U(1)$-同相変換に関して一意である。
• $M$ 上のKähler計量が実解析的であれば、形式的ヒルベルト・ケーラー計量は $T^*M$ 内の $M$ の開近傍で実解析的ヒルベルト・ケーラー計量に収束する。
• この構成により、Hitchinの、Kähler多様体を $U(1)$-同変ヒルベルト・ケーラー多様体における固定点集合として埋め込むという問いに対する肯定的解答が得られる。
• $\overline{T}M$ 上のホッジ多様体構造の局所的同型類と、$\mathcal{O}_{\mathbb{R}}(M) \otimes \mathbb{C}$ 上の乗法的フィルトレーションの間の自然な全単射が確立される。この対応において、関連する三重形式は混合 $\mathbb{R}$-ホッジ構造をなす。
• フィルトレーションの最初の非自明な部分は、$M$ 上の正則関数の層に対応し、全フィルトレーションはその $F^{-1}$-部分によって完全に決定される。