[論文レビュー] Hypocoercivity based Sensitivity Analysis and Spectral Convergence of the Stochastic Galerkin Approximation to Collisional Kinetic Equations with Multiple Scales and Random Inputs

Liu Liu, Shi Jin|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2017

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、乱数入力と複数スケールを有する衝突的遷移方程式に適用される確率的ガラーキン（SG）法の感度分析およびスペクトル収束に関して、低コヒーレンスに基づく枠組みを確立する。解および数値誤差の時間的指数的減衰を証明し、直交多項式にやや厳しい条件を課した場合に限り、gPC-SG法のスペクトル的精度を示す。

ABSTRACT

In this paper, we provide a general framework to study general class of linear and nonlinear kinetic equations with random uncertainties from the initial data or collision kernels, and their stochastic Galerkin approximations, in both incompressible Navier-Stokes and Euler (acoustic) regimes. First, we show that the general framework put forth in [C. Mouhot and L. Neumann, Nonlinearity, 19, 969-998, 2006, M. Briant, J. Diff. Eqn., 259, 6072-6141, 2005] based on hypocoercivity for the deterministic kinetic equations can be easily adopted for sensitivity analysis for random kinetic equations, which gives rise to an exponential convergence of the random solution toward the (deterministic) global equilibrium, under suitable conditions on the collision kernel. Then we use such theory to study the stochastic Galerkin (SG) methods for the equations, establish hypocoercivity of the SG system and regularity of its solution, and spectral accuracy and exponential decay of the numerical error of the method in a weighted Sobolev norm.

研究の動機と目的

• 初期データおよび衝突核に確率的不確実性を有する線形および非線形運動方程式の一般的な感度分析枠組みの構築。
• 決定論的運動方程式から確率的運動方程式への低コヒーレンス理論の拡張により、重み付きソボレフノルム（確率的空間を含む）における平衡への指数的収束を保証すること。
• このような方程式に対する確率的ガラーキン（SG）法の解析を行い、SG系の低コヒーレンスおよび正則性を確立すること。
• gPC-SG近似におけるスペクトル的精度および数値誤差の指数的時間減衰を証明すること。
• 不圧縮性ナビエ＝ストークスおよびエーラー（音響）スケーリング領域（それぞれ $α=1$ および $α=0$）に確率的入力を適用した場合の結果の拡張。

提案手法

• ムーオートとネウマン（2006）およびブリアン（2015）の低コヒーレンス枠組みを、重み付きソボレフノルムにおける確率変数の取り扱いを拡張することで、確率的運動方程式に適応する。
• gPC（一般化多項式混沌）確率的ガラーキン離散化を用いて確率的空間における解を近似し、位相空間および確率的空間における決定論的系に問題を変換する。
• 確率的入力を持つ線形化衝突演算子に対する強制的推定を確立し、gPC-SG法のスペクトル的精度を保証する。
• 重み付き $L^2$ およびソボレフノルムにおけるエネルギー推定を導出し、解および誤差の時間的指数的減衰を証明する。
• 非線形項を誤差方程式で評価するために、コーシー＝シュワルツおよび非線形分解技術（例：$\mathcal{F}(h,h) - \mathcal{F}(h^K,h^K) = \mathcal{F}(h-h^K,h) + \mathcal{F}(h^K,h-h^K)$）を適用する。
• 有界な微分係数を有する直交多項式展開および四則則にやや厳しい条件を課すことにより、安定性および収束性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低コヒーレンス枠組みを、初期データおよび衝突核に確率的不確実性を有する運動方程式の感度評価に拡張可能か？
• RQ2 確率的運動方程式の解は、確率変数を含む重み付きソボレフノルムにおいて、決定論的グローバル平衡に指数的に収束するか？
• RQ3 確率的入力および複数スケールを有する運動方程式に対して、確率的ガラーキン法はスペクトル的精度を有するか？
• RQ4 gPC-SG近似における数値誤差は時間的に指数的に減衰するか？ その条件は何か？
• RQ5 解析を非有界な確率的定義域、直交でない多項式、または境界値問題に一般化可能か？

主な発見

• 衝突核にやや厳しい条件を課した場合、運動方程式の確率的解は重み付きソボレフノルムにおいて、指数的減衰率 $e^{-\tau t}$ で決定論的グローバル平衡に収束する。
• 確率的ガラーキン系に対して、低コヒーレンスが確立され、物理的空間および確率的空間の両方における一意な解の存在および正則性が保証される。
• gPC-SG法は確率的空間においてスペクトル的精度を達成し、滑らかな解に対して誤差が $O(K^{-r})$ として減少する。ここで $K$ は多項式次数、$r$ は正則性指数である。
• 全数値誤差 $||e^K||_{H_{x,v}^s L_z^2}$ は、与えられた仮定のもとで時間的に指数的減衰し、$e^{-\tau_1 t}$（$τ_1 > 0$）の形を取る。
• 誤差推定は確率変数 $z$ に関して一様であり、時間減衰結果は解の期待値および分散の両方に対して成り立つ。
• 解析は不圧縮性ナビエ＝ストークス（$α=1$）およびエーラー（音響、$α=0$）スケーリング領域に適用可能であり、ボルツマン、ランダウ、および半古典的緩和モデルへも拡張可能である。