[論文レビュー] Ideal structure of the C*-algebra of Thompson group T

Collin Bleak, Kate Juschenko|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、HaagerupとOlesenの結果の逆を確立し、Thompsonの群Fが非可約であることは、有限部分集合H ⊂ T が互いに素なH₁とH₂に分割可能であり、g ∈ H₁ における π(g) の和が h ∈ H₂ における π(h) の和に等しく、∑_{g∈H₁} λ(g) − ∑_{h∈H₂} λ(h) が生成する閉イデアルが、C∗_λ(T) 全体であるときに限り成り立つことを証明する。著者らは、C*-代数の単純性を示すためのPowersの条件の弱体化版を導入し、これがC∗_λ(T) の単純性を示すには不十分であることを示した。さらに、有理数回転数を持つ円周の位相的自己同型群における自由部分群の構成に、新しいバージョンのPing-Pong補題を適用した。

ABSTRACT

In a recent paper Uffe Haagerup and Kristian Knudsen Olesen show that for Richard Thompson's group $T$, if there exists a finite set $H$ which can be decomposed as disjoint union of sets $H_1$ and $H_2$ with $\sum_{g\in H_1}π(g)=\sum_{h\in H_2}π(h)$ and such that the closed ideal generated by $\sum_{g\in H_1}λ(g)-\sum_{h\in H_2}λ(h)$ coincides with $C^*_λ(T)$, then the Richard Thompson group $F$ is not amenable. In particular, if $C_λ^*(T)$ is simple then $F$ is not amenable. Here we prove the converse, namely, if $F$ is not amenable then we can find two sets $H_1$ and $H_2$ with the above properties. The only currently available tool for proving simplicity of group $C^*$-algebra is Power's condition. We show that it fails for $C_λ^*(T)$ and present an apparent weakening of that condition which could potentially be used for various new groups $H$ to show the simplicity of $C_λ^*(H)$. While we use our weakening in the proof of the first result, we also show that the new condition is still too strong to be used to show the simplicity of $C_λ^*(T)$. Along the way, we give a new application of the Ping-Pong Lemma to find free groups as subgroups in groups of homeomorphisms of the circle generated by elements with rational rotation number.

研究の動機と目的

• この論文は、HaagerupとOlesenの結果の逆を確立し、C∗_λ(T) の単純性とFの非可約性の関係を明らかにすることを目的としている。
• Fの非可約性がC∗_λ(T) の単純性と同値であるかどうかを検討する。これは幾何的群論における中心的未解決問題である。
• 著者らは、C*-代数の単純性を示すためのPowersの基準よりも弱い新たな条件を考案することを目的としている。
• この新しい条件がより柔軟である一方で、C∗_λ(T) の単純性を示すには依然として不十分であることを示す。
• 主な目的の一つは、有理数回転数を持つ円周自己同型群における自由部分群の検出に、新しいバージョンのPing-Pong補題を適用することである。

提案手法

• 主要定理の証明は、Fが非可約であるという仮定の下で、H₁とH₂が互いに素である有限集合H ⊂ T を構成し、∑_{g∈H₁} π(g) = ∑_{h∈H₂} π(h) が成り立つようにすることに依存している。
• 著者らは、新しいバージョンのPing-Pong補題（補題12）を用いて、有理数回転数を持つ円周上での作用において、特定の群元が自由部分群を生成することを示した。
• 回転数が1/p で、サイズpの単一の軌道を持つ非ねじれ元 ˜g を構成し、g = γ^d ˜g と定義することで、特定の集合の反復作用が所定の開集合U内に留まるようにした。
• 主な技術的構成は、区間 (a_i, b_i) を選び、それらの和集合の補集合が空でない内部を持つ閉区間の和集合であるようにすることであり、これにより群作用におけるダイナミクスを制御可能にした。
• 補題13の証明では、x_j が ⟨k_i⟩ に関して有限周期軌道に属さないという事実を用い、これによりPing-Pong補題を適用して自由部分群を生成した。
• Powersの条件の弱体化版（条件2）を導入し、T \ {e} の有限部分集合H に対して、大きな自由部分群を構成できる能力を要件としているが、これがC∗_λ(T) の単純性を示すには不十分であることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Thompsonの群Fの非可約性は、その減少C*-代数C∗_λ(T) の単純性と同値であるか？
• RQ2 Powersの条件の弱体化版が、元の条件が失敗する群（例：T）のC*-代数の単純性を示すために使用可能か？
• RQ3 有限集合H ⊂ T が ∑_{g∈H₁} π(g) = ∑_{h∈H₂} π(h) を満たし、かつ ∑_{g∈H₁} λ(g) − ∑_{h∈H₂} λ(h) が生成する閉イデアルがC∗_λ(T) 全体であるとき、Fの非可約性が成立するか？
• RQ4 有理数回転数を持つ円周自己同型群における自由部分群の検出に、新しいバージョンのPing-Pong補題を適用可能か？
• RQ5 Powersの条件が失敗するが、弱体化条件（条件2）が成り立つ唯一のトレースを持つ群Gは存在するか？

主な発見

• この論文は、Fが非可約であることと、有限部分集合H ⊂ T が互いに素なH₁とH₂に分割可能であり、∑_{g∈H₁} π(g) = ∑_{h∈H₂} π(h) が成り立ち、かつ ∑_{g∈H₁} λ(g) − ∑_{h∈H₂} λ(h) が生成する閉イデアルがC∗_λ(T) 全体であるときに限り成り立つことを証明した。
• 著者らは、Thompsonの群T に対してPowersの元の条件が単純性を示すために失敗することを示し、T が唯一のトレースを持つが、減少C*-代数が単純でない最初の既知の群である可能性を示唆した。
• Powersの条件の自然な弱体化版（条件2）を導入し、すべての有限H ⊂ G \ {e} に対して必要な自由部分群の構成が可能であれば、C∗_λ(G) の単純性を示す。
• その一般性にもかかわらず、条件2はC∗_λ(T) の単純性を示すには依然として強すぎる。特定の有限部分集合H ⊂ T \ {e} に対して、必要な構成が失敗するためである。
• 新しいバージョンのPing-Pong補題（補題12）を考案し、有理数回転数を持つ円周自己同型群の要素が自由部分群を生成することを示した。
• この論文は、新しい条件2がPowersの元の条件よりも適切に弱いが、C∗_λ(T) の単純性を示すには依然として不十分であるという証拠を提供した。