[論文レビュー] Ideals in Left Almost Semigroups

Qiaser Mushtaq, Madad Khan|ArXiv.org|Apr 10, 2009

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 5被引用数 33

ひとこと要約

本稿は左ほぼ半群（LA-半群）におけるイデアルを調査し、左単位元をもつLA-半群において、すべてのイデアルが素イデアルであることと、それが冪等的であり、かつイデアルの集合が包含関係に関して全順序をなすことの必要十分条件であることを確立している。正則LA-半群においては、すべてのイデアルが素であることと、イデアルの集合が包含関係に関して全順序な鎖をなすことの必要十分条件であることを示しており、さらに素性が強く不可約性と同値であることも証明している。これらの結果は、中間的および左反転的法則を満たす非可換半群における素イデアルの構造的条件を明確にしている。

ABSTRACT

A left almost semigroup (LA-semigroup) or an Abel-Grassmann's groupoid (AG-groupoid) is investigated in several papers. In this paper we have discussed ideals in LA-semigroups. Specifically, we have shown that every ideal in an LA-semigroup S with left identity e is prime if and only if it is idempotent and the set of ideals of S is totally ordered under inclusion. We have shown that an ideal of S is prime if and only if it is semiprime and strongly irreducible. We have proved also that every ideal in a regular LA-semigroup S is prime if and only if the set of ideals of S is totally ordered under inclusion. We have proved in the end that every ideal in S is prime if and only if it is strongly irreducible and the set of ideals of S form a semilattice.

研究の動機と目的

• 左ほぼ半群（LA-半群）における素イデアルを特徴づけること、特に左単位元が存在する場合を対象とする。
• LA-半群における素性、冪等性、イデアルの全順序性の関係を調査すること。
• 正則LA-半群においてすべてのイデアルが素イデアルであるための条件を特定すること。
• 正則LA-半群における素イデアルと強く不可約イデアルとの同値性を調査すること。
• イデアルの構造的性質、特に最小性、半素性、および中間的法則の果たす役割を確立すること。

提案手法

• LA-半群における基本的恒等式として、左反転的法則 (ab)c = (cb)a と中間的法則 (ab)(cd) = (ac)(bd) を用いる。
• 左単位元 e を用いて、S = eS = Se および S = S² などの構造的性質を導出する。
• イデアル理論的構成、たとえば I²、a²I、およびイデアルの共通部分集合・和集合を用いて、閉包性と最小性を分析する。
• 正則LA-半群において、AB = A ∩ B の演算を用いてイデアルの共通部分集合と乗法を関連づけ、同値性の証明を可能にする。
• 半順序集合論的概念、たとえば半帯と全順序を用いてイデアルの集合を特徴づける。
• 背理法とイデアルの包含関係の議論を用いて、最小性および素性の条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左単位元をもつLA-半群において、すべてのイデアルが素イデアルであるための条件は何か？
• RQ2 左単位元をもつLA-半群において、イデアルの全順序性は、すべてのイデアルが素イデアルであることとどのように関係するか？
• RQ3 正則LA-半群における素イデアルと強く不可約イデアルの関係は何か？
• RQ4 正則LA-半群において、イデアルの集合が半帯をなすのはいつか？ そしてこれはイデアルの素性にどのように影響するか？
• RQ5 LA-半群における素イデアルを特徴づける構造的性質（例：冪等性、最小性）は何か？

主な発見

• 左単位元 e をもつLA-半群 S において、すべてのイデアルが素イデアルであることと、それが冪等的であり、かつイデアルの集合が包含関係に関して全順序であることの必要十分条件である。
• S におけるイデアルが素イデアルであることと、それが半素的かつ強く不可約的であることの必要十分条件である。
• 正則LA-半群 S において、すべてのイデアルが素イデアルであることと、イデアルの集合が包含関係に関して全順序であることの必要十分条件である。
• 正則LA-半群において、すべてのイデアルが素イデアルであることと、それが強く不可約的であることの必要十分条件である。
• 正則LA-半群におけるイデアルの集合は、演算 AΛB = AB に関して半帯をなす。
• LA-半群における全順序な素イデアル族の共通部分集合は、再び素イデアルである。