[論文レビュー] Identifying the covariation between the diffusion parts and the co-jumps given discrete observations

Fabio Gobbi, Cecilia Mancini|ArXiv.org|Oct 20, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、離散的で非同期的な観測のもとで、2つのセミマルティング過程における拡散成分の統合共分散（IC）と共通ジャンプを分離するためのしきい値ベースの推定器を提案する。観測間隔 $ h $ に依存するデータ駆動型しきい値関数 $ r(h) $ を用いて増分を切り詰めることで、IC と共通ジャンプを一貫して推定し、有限活動性ジャンプでは漸近正規性を達成するとともに、マイクロ構造ノイズおよび非同期性に対してもロバストである。

ABSTRACT

In this paper we consider two semimartingales driven by diffusions and jumps. We allow both for finite activity and for infinite activity jump components. Given discrete observations we disentangle the {\it integrated covariation} (the covariation between the two diffusion parts, indicated by IC) from the co-jumps. This has important applications to multiple assets price modeling for forecasting, option pricing, risk and credit risk management. An approach commonly used to estimate IC is to take the sum of the cross products of the two processes increments; however this estimator can be highly biased in the presence of jumps, since it approaches the quadratic ovariation, which contains also the co-jumps. Our estimator of IC is based on a threshold (or truncation) technique. We prove that the estimator is consistent in both cases as the number of observations increases to infinity. Further, in presence of only finite activity jumps 1) \hat{IC} is also asymptotically Gaussian; 2) a joint CLT for \hat{IC} and threshold estimators of the integrated variances of the single processes allows to reach consistent and asymptotically Gaussian estimators even of the $β$s and of the correlation coefficient among the diffusion parts of the two processes, allowing a better measurement of their dependence; 3) thresholding gives an estimate of IC which is robust to the asynchronicity of the observations. We conduct a simulation study to check that the application of our technique is in fact informative for values of the step between the observations large enough to avoid the typical problems arising in presence of microstructure noises in the data, and to asses the choice of the threshold parameters.

研究の動機と目的

• 高頻度金融データにおける共通ジャンプの影響によって生じる標準的 quadratic 共分散推定器のバイアスを是正すること。
• 観測が離散的で非同期的である場合の拡散成分間の統合共分散（IC）の一貫した推定を実現すること。
• デフォルト依存性および信用リスクにおける伝染現象のモデリングに不可欠な、共通ジャンプとその寄与を個別に推定すること。
• 有限活動性ジャンプの下で、拡散部の相関係数および回帰係数の漸近的にガウス分布に従う推定器を構築すること。
• 非同期観測に対応するため、[13]および[12]の手法を応用してしきい値推定器を修正し、マイクロ構造ノイズおよび非同期性に対しロバストであるようにすること。

提案手法

• しきい値推定器を提案：$\hat{IC}_{T,n} = \sum_{j=1}^{n} \Delta_j X^{(1)} \mathbf{1}_{\{ (\Delta_j X^{(1)})^2 \leq r(h) \}} \Delta_j X^{(2)} \mathbf{1}_{\{ (\Delta_j X^{(2)})^2 \leq r(h) \}} $、ここで $ r(h) $ はサンプリング周波数 $ h = T/n $ に依存するしきい値関数である。
• 増分がしきい値未満であることを条件として、大きなジャンプを効果的に除外し、拡散駆動の動きのみを保持する。
• 二変量過程にこのしきい値技術を適用し、ジャンプが高確率でしきい値を超えることを利用することで、同時に IC と共通ジャンプを推定する。
• 有限活動性ジャンプの下で、$ \hat{IC}_{T,n} $ と統合分散推定器 $ \hat{IV}_T^{(q)} $ のための連合中心極限定理（CLT）を導出する。これにより、相関係数および回帰係数に関する推論が可能になる。
• 非同期観測に対応させるために、[13]および[12]の手法を応用して推定器を修正し、一貫性を維持する。
• 2つのモデルを用いたシミュレーションスタディを実施：1つは確率的ボラティリティと有限活動性ジャンプを有するモデル（モデル1）、もう1つは定常ボラティリティと無限活動性ジャンプを有するモデル（モデル2）。これにより、性能の妥当性を検証し、最適なしきい値を選定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的観測のもとで、有限活動性および無限活動性ジャンプが共存する状況において、拡散成分の統合共分散を一貫して推定する方法は何か？
• RQ2 非同期性およびマイクロ構造ノイズが存在する状況でも、しきい値ベースの推定器が共通ジャンプと拡散共分散を効果的に分離できるか？
• RQ3 有限活動性ジャンプの仮定の下で、IC のためのしきい値推定器の漸近的分布は何か？ また、相関係数および回帰係数に関する推論が可能になるか？
• RQ4 有限活動性と無限活動性のジャンプ活動のレジームに応じて、推定器の性能はどのように変化するか？
• RQ5 現実の高頻度金融データ環境において、IC および共通ジャンプの推定精度を最適化するしきい値の選定方法は何か？

主な発見

• 非同期観測が存在する状況下でも、$ n \to \infty $ の下で、有限活動性および無限活動性ジャンプの両方のシナリオにおいて、しきい値推定器 $ \hat{IC}_{T,n} $ は $ IC_T $ に対して一貫性を示す。
• 有限活動性ジャンプの下で、$ \hat{IC}_{T,n} $ は収束速度 $ \sqrt{h} $ で漸近的にガウス分布に従い、[2]の結果をジャンプ・ドリフトモデルへと拡張する。
• 連合CLTのおかげで、拡散成分間の相関係数および回帰係数 $ \beta $ の一貫的かつ漸近的にガウス分布に従う推定が可能になる。
• モデル1（有限活動性ジャンプ）では、共通ジャンプの推定値が非常に正確であり、シミュレーションスタディで相対バイアスが1%未満に抑えられる。
• モデル2（無限活動性ジャンプ）では、共通ジャンプ推定器はロバスト性を維持し、平均パcentage誤差が1%で低標準偏差を示す一方、$ \hat{IC}_{T,n} $ は正規化バイアスを示し、ガウス的挙動を示す。
• モデル1では推定器(5)が共通ジャンプ推定に最も有用であり、モデル2では推定器(6)が最も有効である。3つの推定器とも、両モデルで優れた性能を示す。