[論文レビュー] Identities between Mahler measures

Fernando Rodríguez Villegas|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2006

Meromorphic and Entire Functions参考文献 3被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、導手37の楕円曲線に関連する2つのローラン多項式の対数的マラー測度の間の特定の恒等式を証明し、それらが有理数比 5/7 で関連していることを示している。K₂理論におけるレギュレーターと楕円ディログラミット関数を用いて、マラー測度とL関数の特別値との間の関係を確立し、この曲線におけるBloch-Beilinson予想を確認している。

ABSTRACT

The purpose of this short note is to give a proof of the following identity between (logarithmic) Mahler measures m(y^2+2xy+y-x^3-2x^2-x)=5/7*m(y^2+4xy+y-x^3+x^2) which is one of many examples that arise from the comparison of Mahler measures and special values of L-functions.

研究の動機と目的

• 対数的マラー測度の恒等式 $ m(y^2 + 2xy + y - x^3 - 2x^2 - x) = \frac{5}{7} m(y^2 + 4xy + y - x^3 + x^2) $ を証明すること。
• これらのマラー測度の比が有理数であること、すなわち導手37の楕円曲線 $ E: y^2 + y = x^3 - x $ におけるBloch-Beilinson予想を支持すること。
• K₂理論におけるレギュレーターを通じて、マラー測度と $ L' $-関数の特別値との間の関係を確立すること。
• 楕円ディログラミット関数を用いて表される $ K_2(E) $ 上のレギュレーター写像が、定数倍を除いてマラー測度と一致することを示すこと。

提案手法

• 単位トーラス上での積分として対数的マラー測度を定義する：$ m(P) = \int_0^1 \cdots \int_0^1 \log|P(e^{2\pi i\theta_1}, \ldots)| d\theta_1 \cdots d\theta_n $。
• レギュレーター写像 $ r: K_2(E) \to \mathbb{R} $ を $ r(\{f,g\}) = \int_\gamma \eta(f,g) $ で定義する。ここで $ \eta(f,g) = \log|f|\, d\arg g - \log|g|\, d\arg f $ である。
• レギュレーターを楕円ディログラミット関数 $ \mathcal{L} $ を用いて表現し、$ r(\{f,g\}) = c \cdot \mathcal{L}((f)\diamond(g)) $ となる定数 $ c $ を得る。
• 有理関数の因子のダイヤモンド積 $ (f)\diamond(g) $ を計算し、$ \mathbb{Z}[E(\mathbb{Q})]^{-} $ 内の整数ベクトルとして表現する。
• $ \mathbb{Z}[E(\mathbb{Q})]^{-} $ 内で恒等式 $ 5(x)\diamond(y) + (x_2)\diamond(y_2) = -(-y)\diamond(1+y) + (x-y)\diamond(1-x+y) $ を確立し、これによりレギュレーター関係 $ r(\xi_2) = -5r(\xi) $ を得る。
• Jensenの公式と解析接続を用いて、$ r(\{x,y\}) = \pm 2\pi \, m(P_k) $ を実数 $ k \notin \mathcal{K} $ に対して示し、ここで $ \mathcal{K} $ は $ P_k $ がトーラス上で消えるような $ k $ の集合である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bloch-Beilinson予想が予測するように、マラー測度 $ m(y^2 + 2xy + y - x^3 - 2x^2 - x) $ と $ m(y^2 + 4xy + y - x^3 + x^2) $ の比は有理数か？
• RQ2 K₂(E) 上のレギュレーター写像は、楕円曲線の $ L' $-関数の特別値とマラー測度を結びつけるのに用いられるか？
• RQ3 因子群における恒等式 $ 5(x)\diamond(y) + (x_2)\diamond(y_2) = -(-y)\diamond(1+y) + (x-y)\diamond(1-x+y) $ は、望ましいマラー測度の恒等式を示唆するか？
• RQ4 族 $ P_k(x,y) = y^2 - kxy + y - x^3 + x^2 $ に対して、レギュレーター写像 $ r(\{x,y\}) $ はマラー測度 $ m(P_k) $ に比例するか？その比例定数は何か？
• RQ5 なぜ $ y^2 + y - x^3 + x $ のマラー測度は、他の測度と有理的関係を持たないのか？同族に属するにもかかわらず。

主な発見

• 2つのマラー測度の比は、K₂(E) 上のレギュレーター計算により、正確に $ \frac{5}{7} $ であることが示された。
• $ \{x_2, y_2\} $ のレギュレーターは $ r(\xi_2) = -5r(\xi) $ を満たし、$ \{x_1, y_1\} $ のレギュレーターは $ r(\xi_1) = -7r(\xi) $ を満たすため、5:7 の比が得られた。
• $ r(\{x,y\}) $ は実数 $ k \notin \mathcal{K} $ に対して $ \pm 2\pi \, m(P_k) $ に等しく、これは $ \mathcal{K} $ の境界にある $ k = -4 $ および $ k = 2 $ に対しても連続性によって拡張可能である。
• $ y^2 + 2xy + y - x^3 - 2x^2 - x $ のマラー測度は $ r(\xi_2) $ に比例し、同様に他の多項式に対しても成立し、恒等式が確認された。
• $ y^2 + y - x^3 + x $ のマラー測度は、トーラス上で消えるため、サイクルが閉じておらず、レギュレーター公式が適用できないため、他の測度と有理的関係を持たない。
• 恒等式は、片側を $ m(y^2 + 2xy + y - x^3 + x^2) $ と結びつけることによって拡張可能であり、より広い族の恒等式の存在を示唆している。