[論文レビュー] Ill-posedness of the incompressible Navier-Stokes equations in $\dot{F}^{-1,q}_{\infty}({R}^3)$

Chao Deng, Xiaohua Yao|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の $ q > 2 $ に対して、3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式が臨界的トライベル＝リゾルキン空間 $ \dot{F}^{-1,q}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $ において不適切な問題であることを確立している。この結果は、この空間内での任意に小さな初期データが、任意に短い時間内に任意に大きな解へと発展することを示しており、well-posedness と ill-posedness の二分法を完全に完成させる。方程式は $ \dot{F}^{-1,2}_{\infty}(\mathbb{R}^3) = BMO^{-1} $ では適切に定式化されるが、すべての $ q > 2 $ に対して不適切である。これは、ベソフ空間における先行結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, authors show the ill-posedness of 3D incompressible Navier-Stokes equations in the critical Triebel-Lizorkin spaces $ \dot{F}^{-1,q}_{\infty} (\mathbb{R}^3) $ for any $ q>2 $ in the sense that arbitrarily small initial data of $ \dot{F}^{-1,q}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $ can lead the corresponding solution to become arbitrarily large after an arbitrarily short time. In view of the well-posedness of 3D-incompressible Navier-Stokes equations in $ BMO^{-1} $ (i.e. the Triebel-Lizorkin space $ \dot{F}^{-1,2}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $) by Koch and Tataru, our work completes a dichotomy of well-posedness and ill-posedness in the Triebel-Lizorkin space framework depending on $ q=2 $ or $ q>2 $.

研究の動機と目的

• 3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の、$ q > 2 $ における臨界的トライベル＝リゾルキン空間 $ \dot{F}^{-1,q}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $ における適切性または不適切性を調査すること。
• より大きなベソフ空間 $ \dot{B}^{-1,\infty}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $ における観察された不適切性が、$ q > 2 $ におけるより小さい、より精緻なトライベル＝リゾルキン空間へと拡張されるかを特定すること。
• トライベル＝リゾルキン枠組み内での適切性（$ q=2 $）と不適切性（$ q>2 $）の二分法を完成させること。
• ブルアインとパヴロヴィッチの $ \dot{B}^{-1,\infty}_{\infty} $ における既知の不適切性結果を、$ q > 2 $ に対してより小さい空間 $ \dot{F}^{-1,q}_{\infty} $ へと拡張すること。

提案手法

• ノルムが任意に小さく、高周波数成分が集中するように巧みに設計された初期データの列を $ \dot{F}^{-1,q}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $ 内に構築する。
• 解を $ u = u_1 + u_2 + y $ の形に分解し、$ u_1 $ を小さな摂動、$ u_2 $ をノルム増大を引き起こすように設計された高周波数成分とする。
• $ u \cdot \nabla u $ の非線形項を制御するために、$ X_T $-型関数空間における二重線形推定を用いる。
• リトルウッド＝パaley射影を用いたダイアディック分解と周波数局在化を用いて、$ \dot{F}^{-1,q}_{\infty} $ 内での挙動を分析する。
• $ T \ll Q^{-2} $ の時間区間 $[0, T]$ における反復推定とノルム増大の議論により、解のノルムが急速に増大することを示す。
• $ \dot{F}^{-1,2}_{\infty}(\mathbb{R}^3) = BMO^{-1} $ と $ BMO^{-1} $ 内での既知の適切性に依拠し、$ q > 2 $ における不適切性と対比する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス方程式が $ \dot{B}^{-1,\infty}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $ で不適切であるという事実は、$ q > 2 $ におけるより小さい、より滑らかめのトライベル＝リゾルキン空間 $ \dot{F}^{-1,q}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $ へと拡張可能か？
• RQ2 適切性から不適切性へと移行する、トライベル＝リゾルキンスケールにおける正確な閾値は何か？
• RQ3 $ q > 2 $ に対して、$ \dot{F}^{-1,q}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $ 内の任意に小さな初期データが、任意に短い時間内に任意に大きな解ノルムを生じさせ得るか？
• RQ4 $ \dot{F}^{-1,2}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $ と $ \dot{F}^{-1,q}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $（$ q > 2 $）におけるノルム増大の挙動はどのように異なるか？

主な発見

• すべての $ q > 2 $ に対して、ナビエ＝ストークス方程式は $ \dot{F}^{-1,q}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $ で不適切である。これは、任意に小さな初期データが、任意に短い時間内に任意に大きなノルムを持つ解へと発展することを示している。
• ノルム増大は $ \dot{F}^{-1,q}_{\infty} $-ノルムにおいて発生し、$ T \ll Q^{-2} $ および $ r \gg Q^{2Q^3 + 4} $ のとき $ \|u(T)\|_{\dot{F}^{-1,q}_{\infty}} \gtrsim Q^2 $ が成り立つ。
• この結果により、明確な二分法が確立される：方程式は $ \dot{F}^{-1,2}_{\infty}(\mathbb{R}^3) = BMO^{-1} $ では適切に定式化されるが、すべての $ q > 2 $ に対して不適切である。
• 不適切性は、ベソフ空間 $ \dot{B}^{-1,\infty}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $ よりも強い。なぜなら $ \dot{F}^{-1,q}_{\infty}(\mathbb{R}^3) \subsetneq \dot{B}^{-1,\infty}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $ であり、$ q > 2 $ のときより小さい空間に存在するからである。
• 構成は高周波数初期データと時間における反復推定に依拠しており、$ \dot{F}^{-1,q}_{\infty} $ 内の小さな初期データに対しても非線形項が支配的であることを示している。