[論文レビュー] Illustrating a problem in the self-financing condition in two 2010-2011 papers on funding, collateral and discounting

Damiano Brigo, Cristin Buescu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2012

Credit Risk and Financial Regulations参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、2010–2011年に発表された資金調達、担保および割引の分野における2つの影響力のある論文で用いられた自己融資条件における根本的な誤りを特定する。誤った条件は、金銭的位置が存在しない状況で、自己資本またはサブポジションが独立して自己融資可能であると誤って仮定しており、価格、収益および配当プロセスの適切な分解を用いた修正された導出を提示する。これにより、条件が正しく定式化された場合、元の価格設定結果が有効であることが示される。

ABSTRACT

We illustrate a problem in the self-financing condition used in the papers "Funding beyond discounting: collateral agreements and derivatives pricing" (Risk Magazine, February 2010) and "Partial Differential Equation Representations of Derivatives with Counterparty Risk and Funding Costs" (The Journal of Credit Risk, 2011). These papers state an erroneous self-financing condition. In the first paper, this is equivalent to assuming that the equity position is self-financing on its own and without including the cash position. In the second paper, this is equivalent to assuming that a subportfolio is self-financing on its own, rather than the whole portfolio. The error in the first paper is avoided when clearly distinguishing between price processes, dividend processes and gain processes. We present an outline of the derivation that yields the correct statement of the self-financing condition, clarifying the structure of the relevant funding accounts, and show that the final result in "Funding beyond discounting" is correct, even if the self-financing condition stated is not.

研究の動機と目的

• 2010–2011年に発表された資金調達、担保および割引に関する2つの広く引用された論文で用いられた自己融資条件における根本的な誤りを特定し是正すること。
• 資金調達および担保を含む自己融資戦略の文脈において、価格プロセス、収益プロセスおよび配当プロセスの違いを明確にすること。
• 自己融資条件が正しく定式化された場合、元の価格設定結果が依然として有効であることを示すこと。
• サブポジションまたは自己資本ポジションが、現金を含む全ポートフォリオとは独立して自己融資可能であるという誤解を是正すること。
• 資金調達コストを適切にモデル化するための厳密なフレームワークを提供すること、これにはポートフォリオのダイナミクスのすべての要素を正しく考慮することが含まれる。

提案手法

• ポートフォリオに含まれる各資産の価格および配当プロセスから収益プロセスを明示的に分離することで、正しい自己融資条件を導出する。
• 先行研究で見つかった誤りを回避するため、確率的ライプニッツ則を正しく適用し、ポートフォリオ価値と収益のダイナミクスの整合性を保証する。
• 恒等式 $ dG^{\Pi} = \theta_1 dG_1 + \theta_2 dG_2 + \theta_3 dG_3 $ を用いて、ポートフォリオの総収益プロセスを個々の資産の収益に表現する。
• 資金口座 $ \theta_3 = V^Y - C $ を、デリバティブ価格と担保に従って関数として再構築し、自己融資条件と整合性を保つ。
• デリバティブ価格 $ V^Y $ に伊藤の公式を適用し、得られたダイナミクスを収益プロセスと等置することで、正しいPDEを導出する。
• 自己融資条件が正しく適用された場合、元の価格設定PDEが[19]から回復されることを示し、誤った導出にもかかわらず結果が正当化されることを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2010–2011年の論文における自己融資条件は、特に現金および資金調達ポジションを含めた全ポートフォリオのダイナミクスをなぜ正しく反映していないのか？
• RQ2 サブポジションが独立して自己融資可能であるという誤った仮定が、資金調達コストの誤ったモデル化にどのように寄与するのか？
• RQ3 資金調達、担保および自己資本がすべて存在する状況での、正しい数学的自己融資条件の定式化は何か？
• RQ4 『割引を超えた資金調達』で得られた元の価格設定結果は、誤った自己融資条件を避ける厳密な導出によって再現可能か？
• RQ5 自己融資戦略における価格、収益および価値のダイナミクスを区別するうえで、配当プロセスの役割は何か？

主な発見

• 2010–2011年の論文における自己融資条件は、現金または資金調達ポジションを考慮しない状況で、自己資本ポジションまたはサブポジションが独立して自己融資可能であると誤って仮定している。
• 誤りは、確率的ライプニッツ則の誤った適用に起因し、ポートフォリオの収益プロセスの誤った分解を引き起こしている。
• 正しい自己融資条件では、総収益プロセス $ dG^{\Pi} $ が、資金口座を含むすべての要素に依存するポートフォリオ価値の変化 $ dV^{\Pi} $ に等しくなければならない。
• 誤った自己融資条件にもかかわらず、『割引を超えた資金調達』で得られた最終的なPDEは正しい。これは、適切なフレームワークを用いて再導出可能である。
• 特に担保付きおよびデフォルト可能性のあるデリバティブにおいて、資金調達コストを正確にモデル化するには、価格プロセス、収益プロセスおよび配当プロセスの区別が不可欠である。
• 資金口座 $ \theta_3 = V^Y - C $ は、ポートフォリオ価値と担保に従って一貫して導出され、独立して自己融資可能であると仮定してはならない。