[論文レビュー] Image measures of infinite product measures and generalized Bernoulli convolutions

Sergio Albeverio, Grygoriy Torbin|ArXiv.org|Aug 4, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、無限積測度およびその像測度の絶対連続性と特異性を調査し、ランダム級数 $\psi = \sum \psi_k \lambda^k$ および $\varphi = \sum \varphi_k a_k$ で定義される一般化ベルヌーイ畳み込みに焦点を当てる。測度を保つ写像および像測度理論を用いて、確率とスケーリング率の級数の収束に依存する鋭い基準を確立し、i.i.d. および一様にスケーリングされない設定にまで、古典的なベルヌーイ畳み込みの結果を拡張する。

ABSTRACT

We examine measure preserving mappings $f$ acting from a probability space $(Ω, F,μ) $ into a probability space $% (Ω^{*},F^{*},μ^{*}) ,$ where $μ^{*}=μ(f^{-1})$. Conditions on $f$, under which $f$ preserves the relations ''to be singular'' and ''to be absolutely continuous'' between measures defined on $(Ω, F) $ and corresponding image measures, are investigated. We apply the results to investigate the distribution of the random variable $% ξ=\sum\limits^{\infty}_{k=1} ξ_kλ^k,$ where $% λ\in (0;1),$ and $ξ_k$ are independent not necessarily identically distributed random variables taking the values $i$ with probabilities $% p_{ik}$ ,$i=0,1.$ We also studied in details the metric-topological and fractal properties of the distribution of a random variable $ψ= \sum\limits^{\infty}_{k=1} ξ_ka_k,$ where $a_k>0$ are terms of the convergent series.

研究の動機と目的

• 収束する $\sum a_k$ を持つ一般化ベルヌーイ畳み込み確率変数 $\varphi = \sum \varphi_k a_k$ の分布の幾何的・フラクタル的・位相的性質を分析すること。
• 無限ベルヌーイ畳み込みに関する古典的結果を、同一分布でないおよび非対称な場合にまで拡張すること。
• 確率 $p_{0k}, p_{1k}$ および $a_k$ を含む級数の収束に関する条件を用いて、$\varphi$ の分布の絶対連続性または特異性の必要十分条件を確立すること。
• 測度を保つ写像が非線形射影下で測度の関係（特に特異性と絶対連続性）をどのように保つのかを調査すること。

提案手法

• 非線形射影による無限積測度の像測度を研究するため、$\Omega = \prod \Omega_k$ から実数直線への写像 $g(\omega) = \sum \omega_k a_k$ を用いる。
• 測度を保つ写像 $f$ を $(\Omega, F, \mu)$ から $(\Omega^*, F^*, \mu^*)$ に適用し、$\mu^* = \mu(f^{-1})$ を定義することで、測度のタイプ（絶対連続、特異、離散）がどのように保存されるかを分析する。
• レヴィおよびジェッセン＝ウィンナーの定理を用いて、$\varphi$ の分布の純粋性を確立し、混合タイプが存在しないことを保証する。
• 積 $ \prod_{k=1}^\infty \left( \sqrt{\frac{1}{2}p_{0k}} + \sqrt{\frac{1}{2}p_{1k}} \right) $ を用いて収束基準を導出し、これが $ \sum (\frac{1}{2} - p_{0k})^2 < \infty $ と同値であることから、絶対連続性と関連付ける。
• 支持 $ S_\varphi $ に正のルベーグ測度を持つこと、および支持のギャップ解析を簡素化するために、$ a_k \geq \sum_{i=k+1}^\infty a_i $ の条件を導入する。
• 双方向写像 $g$ を用いて、$\Omega$ 上の積測度 $\nu$ と $\varphi$ の分布 $\nu^* = \nu(g^{-1})$ を関連付け、$\nu$ からの絶対連続性が $\nu^*$ へと移行できることを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率変数 $\varphi_k$ が独立にベルヌーイ分布に従い、$p_{0k}, p_{1k}$ を持つとき、$\varphi = \sum \varphi_k a_k$ の分布がルベーグ測度に関して絶対連続であるための条件は何か？
• RQ2 $\lambda \in (0,1)$ に対して $\psi = \sum \psi_k \lambda^k$ の分布は、$\psi_k$ がi.i.d.でない場合を含めて、いつ特異的または絶対連続的となるか？
• RQ3 測度を保つ写像は、非線形射影下で、測度の関係（特に特異性と絶対連続性）をどのように保つのか？
• RQ4 特に $ a_k \geq \sum_{i=k+1}^\infty a_i $ のとき、$ a_k $ の減衰率は $\varphi$ の支持のフラクタル的および測度的性質にどのように寄与するか？
• RQ5 対称な場合に限らない非一様スケーリングを持つ級数について、絶対連続性の基準を鋭くするか、一般化することは可能か？

主な発見

• 分布 $\varphi$ が純粋に離散的であるための必要十分条件は、$ \prod_{k=1}^\infty \max\{p_{0k}, p_{1k}\} > 0 $ であり、これは 0 と 1 の確率が 0 に減少しない場合に成立する。
• 分布 $\varphi$ が絶対連続的であるための必要十分条件は、両方の級数 $ \sum_{k=1}^\infty (\delta_k - 1) < \infty $ および $ \sum_{k=1}^\infty (\frac{1}{2} - p_{0k})^2 < \infty $ が収束することであり、ここで $ \delta_k = \max\{p_{0k}, p_{1k}\}^{-1} $ である。
• 分布 $\varphi$ が特異的であるのは、離散的でも絶対連続的でもない場合であり、ジェッセン＝ウィンナーの定理による分布の純粋性により保証される。
• 像測度 $ \nu^* = \nu(g^{-1}) $ がルベーグ測度に関して絶対連続的であるための必要十分条件は、積 $ \prod_{k=1}^\infty \left( \sqrt{\frac{1}{2}p_{0k}} + \sqrt{\frac{1}{2}p_{1k}} \right) $ が収束することであり、これは $ \sum (\frac{1}{2} - p_{0k})^2 < \infty $ と同値である。
• $ a_k \geq \sum_{i=k+1}^\infty a_i $ のとき、支持 $ S_\varphi $ は正のルベーグ測度を持ち、像測度 $ \mu^* $ において $ S_\varphi $ 上で一様分布となる。これにより、ルベーグ測度との比較が可能になる。
• 本稿は、第3節で提示された問題の反例を提供し、写像に関する自然な条件が測度タイプの関係を保証するとは限らないことを示しており、像測度の振る舞いの微妙さを強調している。