[論文レビュー] Images directes et fonctions L en cohomologie rigide

Jean-Yves Étesse|ArXiv.org|Mar 11, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、正の特性の完全体上での固有かつ滑らかな準同型に関して、rigidコホロロジーにおける高次直接像のoverconvergenceに関するBerthelot予想の部分的証明を行う。特異的幾何的条件下で、liftableまたは相対的完全交差的準同型の下で、収束的およびoverconvergent F-イゾコホロロジーの直接像の収束性を確立し、関連するL関数の有理型性およびp進単位零点・極の解析を可能にする。特に、通常のアーベルスキームに対して有効である。

ABSTRACT

Let $k$ be a perfect field of characteristic $p>0$, $\mathcal{V}$ a complete discrete valuation ring with residue field $k$ and field of fractions $K$ of characteristic 0, and $S$ a separated $k$-scheme of finite type. When $S$ is smooth over $k$, we partially prove here a conjecture of Berthelot about the overconvergence of the higher direct images of the structure sheaf under a proper smooth morphism $f:X o S$; when $k$ is perfect and $\mathcal{V}$ is tamely ramified such direct images are always convergent, not only for the structure sheaf but also for (almost) every convergent $F$-isocrystals. More generally, we prove this overconvergence when $f$ is liftable over $\mathcal{V}$, or when $X$ is a relative complete intersection in some projective spaces over $S$, and taking as coefficients any overconvergent isocrystals. We then apply these results to $L$-functions with coefficients such direct images with Frobenius structure: we derive rationality or meromorphy for these $L$-functions (Dwork's conjecture), and we study their $p$-adic unit zeroes and poles (Katz's conjecture) ; and explicit case concerns the ordinary abelian schemes. A more precise presentation of results by chapters is given in the introduction.

研究の動機と目的

• 正の特性の完全体上での固有かつ滑らかな準同型に関して、rigidコホロロジーにおける高次直接像のoverconvergenceに関するBerthelot予想の部分的証明。
• 特定の幾何的条件下で、構造層から（ほとんどすべての）収束的F-イゾコホロロジーおよび任意のoverconvergentイゾコホロロジーへのoverconvergence結果の拡張。
• Dworkの予想に従い、これらのコホロロジー的結果を応用して、直接像に係数を持つL関数の有理型性およびmeromorphyの研究。
• Katzの予想に従い、これらのL関数のp進単位零点および極の挙動の解析。
• 結晶コホロロジーおよびsyntomicコホロロジーの道具を用いて、通常のアーベルスキームおよびp-可除群に対して明示的な結果の提供。

提案手法

• 完全な離散付値環Vを基にした形式的スキームおよびその上へのliftingsの利用。
• Monsky-Washnitzer代数および(F)-crystalと(F)-isocrystalの理論を用いて、代数的コホロロジーとrigidコホロロジーを関連付ける。
• 特にコンパクトなコホロロジーに対して、étaleおよびrigidコホロロジーの間のブリッジとしてsyntomicコホロロジー理論の利用。
• rigid解析幾何における基底変換およびstrictな近傍を用いて、overconvergent F-イゾコホロロジーおよびその直接像への応用。
• イゾコホロロジーのFrobenius構造を用いて、zeta関数およびトレース公式を通じてL関数を定義・研究。
• rigid、étale、syntomicコホロロジー間の比較定理を適用し、L関数の有理型性およびmeromorphyを導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性の完全体上での固有かつ滑らかな準同型の下で、overconvergent F-イゾコホロロジーの高次直接像がどのような条件下でoverconvergentとなるか。
• RQ2 構造層を超えて、一般の収束的およびoverconvergent F-イゾコホロロジーへの直接像のoverconvergenceが、特定の幾何的条件下で拡張可能かどうか。
• RQ3 overconvergenceが、これらの直接像に係数を持つL関数の有理型性およびmeromorphyに与える影響は何か。
• RQ4 特に通常のアーベルスキームの場合に、これらのL関数のp進単位零点および極はどのように振る舞うか。
• RQ5 直接像上のFrobenius構造の全射性が、関連するL関数の算術的性質をどの程度保証するか。

主な発見

• Sが正の特性p > 0の完全体k上滑らかである固有かつ滑らかな準同型f: X → Sに対して、Vが非分岐的であるとき、構造層の高次直接像はoverconvergentである。
• fがV上liftableであるか、XがS上射影空間内の相対的完全交差であるとき、(ほとんどすべての)収束的F-イゾコホロロジーおよび任意のoverconvergentイゾコホロロジーに対しても、overconvergence性が拡張される。
• これらの直接像に係数を持つL関数は、有理型またはmeromorphicであることが保証され、Dworkの予想がこれらの状況で確認される。
• これらのL関数のp進単位零点および極は、Newton多角形およびFrobenius作用によって制御され、Katzの予想を支持する。
• 通常のアーベルスキームに対して、L関数はmeromorphicであり、関連するp-可除群の結晶およびsyntomicコホロロジーを用いて、その単位零点および極が明確に記述される。
• syntomicおよびétaleコホロロジー間の比較同型は、特に有限étale被覆および単調性を持つ場合に、算術的性質をL関数のレベルに持ち越すことを可能にする。