[論文レビュー] Implementation of Linear Model Predictive Control -- Tutorial

Michael Fink|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2021

Advanced Control Systems Optimization参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本チュートリアルでは、状態制約および入力制約を伴う離散時間システムに対する線形モデル予測制御（MPC）の実装手法を実用的に行い、終端制約および終端コストを用いて再帰的妥当性と安定性を強調する。MPC最適化問題を効率的なMATLAB計算に適した二次計画問題（QP）に再定式化する方法を示し、終端集合を含む・含まないシミュレーション例を通じて再帰的妥当性の喪失と回復を検証する。

ABSTRACT

This tutorial shows an overview of Model Predictive Control with a linear discrete-time system and constrained states and inputs. The focus is on the implementation of the method under consideration of stability and recursive feasibility. The MATLAB code for the examples and plots is available online.

研究の動機と目的

• 状態および入力制約を伴う離散時間システムに対する線形モデル予測制御（MPC）を、包括的で段階的なチュートリアルとして提供すること。
• 終端制約集合と終端コスト関数を組み込むことで、MPCにおける再帰的妥当性と安定性を保証すること。
• MPC最適化問題を標準的な二次計画問題（QP）に再定式化し、MATLABにおける効率的な数値解法を実現すること。
• 終端制約を省略した場合の影響を、再帰的妥当性の喪失を示すシミュレーションを通じて説明すること。
• すべての例およびプロット用のオープンソースMATLABコードを提供し、再現可能性と実践的学習を支援すること。

提案手法

• 状態 $ \boldsymbol{x}_k \in \mathcal{X} $ および入力 $ \boldsymbol{u}_k \in \mathcal{U} $ の制約を伴う線形離散時間システムモデルを $ \boldsymbol{x}_{k+1} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_k + \boldsymbol{B}\boldsymbol{u}_k $ として定式化する。
• 状態と入力の重み $ \boldsymbol{Q} \succeq 0 $, $ \boldsymbol{R} \succ 0 $ および終端コスト $ \boldsymbol{Q}_f $ を含む二次コスト関数を用いた有限履歴最適制御問題を定義する。
• 予測履歴全体における予測状態および入力を1つの最適化ベクトルとして表現できるように、MPC問題を拡張されたシステム表現に再定式化する。
• 状態および入力の系列に制約を課し、再帰的妥当性を保証するための終端制約 $ \boldsymbol{x}_{k+N|k} \in \mathcal{X}_f $ を導入する。
• 標準的なQP形式にコスト関数と制約を表現することで二次計画問題（QP）を構築し、MATLABにおける標準QPソルバを用いた効率的な解法を可能にする。
• MPT3ツールボックスを用いて最大安定化集合としての終端制約集合 $ \mathcal{X}_f $ を計算し、安定性および再帰的妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態および入力制約下で、再帰的妥当性と安定性を保証しつつ、線形モデル予測制御をどのように効率的に実装できるか？
• RQ2 MPCにおける再帰的妥当性と安定性を保証するための終端コストおよび終端制約集合の役割は何か？
• RQ3 終端制約を省略すると、MPCシミュレーションで再帰的妥当性がどのように失われるか？
• RQ4 入力および状態制約が、実際のMPC最適化およびその解法に与える影響は何か？
• RQ5 MPC最適化問題をどのように標準的な二次計画問題（QP）に再定式化し、MATLABにおける高速かつ信頼性の高い数値解法を実現できるか？

主な発見

• 終端制約集合 $ \mathcal{X}_f $ が存在しない場合、初期状態 $ \boldsymbol{x}_0 = [7.3\ 10]^\top $ を用いたシミュレーションで、数ステップ後にMPC最適化が不成立になることが示された。最後の予測状態が状態制約を超過した。
• MPT3ツールボックスを用いて計算された適切な終端制約集合 $ \mathcal{X}_f $（最大安定化集合として）を導入することで、再帰的妥当性が回復し、安定した長期的なMPC運用が可能になる。
• 終端集合 $ \mathcal{X}_f $ は、実現可能な初期状態集合 $ \mathcal{X}_N $ と一致し、初期状態 $ \boldsymbol{x}_0 = [7.3\ 10]^\top $ はその境界上に位置しており、摂動に対して感受性が高いことが示された。
• 適用された入力 $ u $ は初期段階で入力制約限界 $ -20 $ に達しており、活性制約であることが示された。その後、システムが原点に近づくにつれて非活性領域に移行する。
• シミュレーション結果から、終端集合を用いることで再帰的妥当性が維持されていることが確認された。各時刻で最後の予測状態が $ \mathcal{X}_f $ 内に留まっている。
• すべての例およびプロット用のMATLABコードは https://github.com/placebovitamin/MPC-Tutorial で公開されており、再現可能性と実践的実装を支援する。