[論文レビュー] Implementing high dimensional unitary representations of SU(2) on a Quantum Computer

Christof Zalka|ArXiv.org|Jul 18, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、3次元格子上に格納された離散化球面調和関数を用いて、量子レジスタに高次元のSU(2)ユニタリ表現を効率的に実装する手法を提案する。空間回転によって角運動量状態を符号化することで、指数的になお小さくなる誤差を伴う多項式時間でのSU(2)回転の実装が可能であるが、格子回転マッピングにおける技術的ギャップが残っている。

ABSTRACT

In this note we consider a system with a large angular momentum l whose state we can store using some log_2(l) qubits. The problem then is how to carry out spatial rotations of the system in this representation. In other words we are looking at a unitary representation of SU(2) with dimension 2l+1 and want to implement these transformations with resources polynomial in log(l). We only give a sketch of our solution which involves ``storing'' discretised spherical harmonic functions Y_{l,m}(Theta,phi) in a quantum register. Also there are some technical gaps in the construction, but they are based on plausible assumptions. Our approach is rather cumbersome and we hope somebody will find a nicer solution. For a nice, elementary explanation of what we are trying to do (not involving physics or representation theory) see section 4.6.2.

研究の動機と目的

• 次元 $2\ell+1$ の大きな角運動量系のための空間回転の効率的量子計算を可能にする。
• 唯一 $O(\log \ell)$ 量子ビットを用いて、高次元のSU(2)ユニタリ表現を実装する。
• スケーラブルでリソース効率の良い方法で、量子コンピュータ上で一般のSO(3)またはSU(2)回転を実装する課題を克服する。
• 大スピンまたは軌道的角運動量を持つ系をシミュレートするための、構成的ではあるが技術的に複雑なフレームワークを提供する。

提案手法

• 角運動量状態の $2\ell+1$ 次元ヒルベルト空間を、$m = -\ell, \dots, \ell$ の計算基底状態 $|m\rangle$ で表現する。
• 3つの量子レジスタ $|x,y,z\rangle$ を用いて、球面調和関数 $Y_{\ell m}(\Theta, \phi)$ を3次元立方格子上に離散化された波動関数として符号化する。
• 回転された格子点と元の格子点の間のユニタリマッピングを構築することで空間回転を実装し、近似的ではあるがユニタリな回転操作を可能にする。
• $z$ 軸回転を用いた位相推定により、$Y_{\ell m}$ 状態から量子数 $m$ を抽出し、格子から $|m\rangle$ 基底への逆変換を可能にする。
• 全回転回路を、$|m\rangle \to |Y_{\ell m}\rangle$ の翻訳、空間回転の適用、その後の $|Y_{\ell m}\rangle \to |m\rangle$ の逆翻訳という一連の手順として構成する。
• 格子回転の非一意性に対処するため、細かい離散化と、回転済みと元の格子点の間の近似的な1対1マッピングを用い、誤差を小さく保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元のSU(2)ユニタリ表現を、$O\left(\log \ell\right)$ 量子ビットのみを用いて、量子コンピュータ上でどのように効率的に実装できるか。
• RQ2 大きな角運動量 $\ell$ を持つ量子系に対して、任意の空間回転（SO(3)変換）をスケーラブルに実行する方法は何か。
• RQ3 3次元格子上の離散化球面調和関数は、量子アルゴリズムにおけるSU(2)群作用の忠実かつ効率的な表現として機能できるか。
• RQ4 位相推定を用いて、$Y_{\ell m}$ 状態から $|m\rangle$ 基底状態への逆変換をユニタリに実装する方法は何か。
• RQ5 このような表現において、指数的になお小さくなる誤差を達成するために必要な最小限の技術的仮定と近似は何か。

主な発見

• 提案手法により、$\log \ell$ に関して多項式的なリソースを用いて、高次元表現における任意のSU(2)回転を実装可能であり、効率的量子シミュレーションの目的を満たす。
• この構成は、球面調和関数 $Y_{\ell m}$ を3次元格子上に離散化した関数として符号化することに依存しており、これは $|m\rangle$ 状態と同様に空間回転に対して変換する。
• 空間回転は、回転済みと元の格子点の間の近似的な1対1マッピングにより実装され、格子間隔を細かくすることで誤差を指数的に小さくできる。
• $z$ 軸回転を用いた位相推定により、$Y_{\ell m}$ 状態から量子数 $m$ を回復でき、逆変換ステップが可能になる。
• 格子マッピングの技術的ギャップに対して、仮定が妥当である限り、その影響は管理可能である。
• このフレームワークにより、古典的には困難な量子系（例：「キックドトップ」）のシミュレーションが量子コンピュータで可能になる道筋が示される。