[論文レビュー] Implementing Open Call-by-Value (Extended Version)

Beniamino Accattoli, Giulio Guerrieri|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、環境ラベルや複雑な最適化を用いないまま、βステップの数と初期項のサイズの両方に線形なオーバーヘッド（二重線形オーバーヘッド）を達成する、オープンな値呼び出し方式のラムダ計算のための新しい抽象機械、Fast GLAMOUr を提示する。再帰的レベルを用いた強評価をサポートするシンプルで効率的な実装により、オープン項の抽象機械設計における長年の単純さと効率性のトレードオフを解消する。

ABSTRACT

The theory of the call-by-value lambda-calculus relies on weak evaluation and closed terms, that are natural hypotheses in the study of programming languages. To model proof assistants, however, strong evaluation and open terms are required. Open call-by-value is the intermediate setting of weak evaluation with open terms, on top of which Grégoire and Leroy designed the abstract machine of Coq. This paper provides a theory of abstract machines for open call-by-value. The literature contains machines that are either simple but inefficient, as they have an exponential overhead, or efficient but heavy, as they rely on a labelling of environments and a technical optimization. We introduce a machine that is simple and efficient: it does not use labels and it implements open call-by-value within a bilinear overhead. Moreover, we provide a new fine understanding of how different optimizations impact on the complexity of the overhead.

研究の動機と目的

• Coq のような証明支援系にとって重要な、効率的でシンプルなオープン値呼び出し方式の抽象機械の不足を解消すること。
• 既存の機械が示す、効率性と単純さのトレードオフを克服すること。それらは、指数的オーバーヘッドを伴うか、複雑なラベリングや最適化に依存している。
• 機械のオーバーヘッドの形式的コスト解析を提供し、それがβステップの数と初期項サイズの両方に二重線形であることを示すこと。
• Coq の実装戦略で用いられるように、抽象の下で再帰的にオープン値呼び出し方式の機械を適用することで、証明支援系における強評価を可能にすること。
• 閉じた項と強評価戦略の間のギャップを埋めるために、オープン項の効率的評価の理論的基盤を確立すること。

提案手法

• 弱評価をオープン項で可能にするために、値をファイアボールに一般化する火炎計算（λfire）に基づいて、新しい抽象機械 Fast GLAMOUr を設計する。
• 遷移（β簡約、代入ステップ、可換遷移）を追跡する新しいコストモデルを導入し、それぞれに有界なオーバーヘッドをもたせる。
• 部分項不変則を活用して各操作のコストをバインドし、どの遷移も項のサイズを定数倍を超えて増加させないことを保証する。
• 可換遷移のサイズ測定を、代入ステップの数と初期項サイズに線形に依存するように定義する。
• 総遷移数が (1 + |ρ|β) · |t0| で有界であることを証明する。ここで |ρ|β はβステップの数、|t0| は初期項サイズである。
• RAM 上での機械の総実行時間は O((1 + |ρ|β) · |t0|) であることを確立し、ラベルや複雑な最適化を用いずに二重線形オーバーヘッドを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オープン値呼び出し方式の抽象機械は、単純さと効率性の両方を兼ね備えられるか。具体的には、ナーブな機械の指数的オーバーヘッドを避け、ラベル付き機械の複雑さを回避できるか。
• RQ2 βステップの数と初期項サイズの観点から、オープン値呼び出し方式の評価を実装する際の正確なオーバーヘッドは何か。
• RQ3 オンデマンド代入や可換遷移といった異なる最適化戦略は、機械の全体的な複雑さにどのように影響するか。
• RQ4 Coq で用いられる強評価戦略は、弱評価のオープン値呼び出し方式の機械を再帰的に適用することで、形式的に正当化され、効率的に実装可能か。
• RQ5 サイズ爆発が発生する状況下でも、βステップの数はオープン値呼び出し方式の合理的なコストモデルと見なせるか。

主な発見

• Fast GLAMOUr は、|ρ|β がβステップの数、|t0| が初期項サイズであるとして、二重線形オーバーヘッド O((1 + |ρ|β) · |t0|) を達成する。
• 代入遷移の数 |ρ|s は |ρ|β で有界であり、代入がコストを支配しないことを保証する。
• 可換遷移の数 |ρ|c は (1 + |ρ|s) · |t0| ≤ (1 + |ρ|β) · |t0| で有界であり、βステップの数と初期項サイズの両方に線形に依存する。
• 環境ラベルや技術的最適化を必要としないため、先行する効率的機械よりも単純である。
• Coq の実装戦略で用いられるように、抽象の下で再帰的に適用することで、強評価をサポートする。
• サイズ爆発を示す {snI}n∈N という族は、閉じた項であっても弱評価の下で指数的爆発を示しうることを示し、優れたコストモデルを持つ効率的機械の必要性を裏付ける。