[논문 리뷰] Implementing the fanout gate by a Hamiltonian

Stephen Fenner|ArXiv.org|2003. 09. 23.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 n qubit을 단순한 이차 해밀토니안 $ H_n = J(\sum Z_i)^2 $ 에 따라 특정 시간 동안 진화시킬 때, n 이 짝수일 경우 정확한 (n+1)-qubit fanout 게이트를 구현할 수 있음을 보여준다. 핵심 결과는 이러한 해밀토니안 진화와 단일 큐비트 게이트를 조합하면, fanout에 대해 일정 깊이의 양자 회로를 실현할 수 있으며, 이는 양자 계산에 대해 보편적이며 기존의 회로 기반 fanout 합성에 비해 물리적으로 더 타당한 대안을 제공한다.

ABSTRACT

We show that, for even n, evolving n qubits according to a simple Hamiltonian can be used to exactly implement an (n+1)-qubit parity gate, which is equivalent in constant depth to an (n+1)-qubit fanout gate. We also observe that evolving the Hamiltonian for three qubits results in an inversion-on-three-way-equality gate, which together with single-qubit operations is universal for quantum computation.

연구 동기 및 목표

• 기존의 양자 회로 기반 접근 방식으로는 구현하기 어려운 강력한 양자 fanout 게이트의 물리적 대체 구현 방식을 탐색하기 위해.
• 복잡한 회로 합성 없이도 단순하고 물리적으로 타당한 해밀토니안을 통해 시간 진화를 통해 fanout 게이트를 생성할 수 있음을 보여주기 위해.
• 해밀토니안 진화를 통한 파리티 게이트와의 동치성을 확립하여 일정 깊이의 양자 계산을 가능하게 하기 위해.
• 스핀 체인이나 포획 이온과 같은 시스템에서 이러한 해밀토니안의 물리적 실현 가능성, 특히 큐비트 수에 대해 이차적으로 상호작용하는 경우를 조사하기 위해.

제안 방법

• 논문은 n 큐비트에 작용하며 계산 기저에서 대각화되는 해밀토니안 $ H_n = J(\sum_{i=1}^n Z_i)^2 $ 를 사용하여 시스템을 시간에 따라 진화시킨다.
• 해밀토니안 $ H_n $ 에 따른 시간 진화는 $ U_n = e^{-iH_n t} $ 로 계산되며, $ t = \pi/4 $ 일 때 상태의 기수에 따라 상이한 위상 이동을 유도한다.
• n 이 짝수일 경우, 진화 $ U_n $ 는 전역 위상까지 고려하면 기수에 따라 위상 인자 $ i^{k(n-k)} $ 가 포함된 파리티 게이트를 실현한다.
• 그러한 파리티 게이트를 토대로 헤르모니트 및 위상 게이트(예: $ S^\dagger $)를 조합하여 조건부 위상을 분리하고 원하는 출력을 생성함으로써 fanout 게이트를 구성한다.
• 이 구성은 $ n \equiv 0 \pmod{4} $ 와 $ n \equiv 2 \pmod{4} $ 인 경우로 확장되며, 위상 인자에 대한 적절한 수정이 가미된다.
• 또한 논문은 3 큐비트 해밀토니안의 진화가 '등가일 때의 역전' 게이트 $ I_= $ 를 생성함을 보이며, 이는 단일 큐비트 게이트와 조합될 경우 보편적임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복잡한 양자 회로에 의존하지 않고도 단순한 이차 해밀토니안을 통해 양자 fanout 게이트를 실현할 수 있는가?
• RQ2 큐비트 수와 그 기수의 역할이 해밀토니안 $ H_n $ 에 따른 시간 진화에서 유도하는 위상 이동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 3 큐비트 해밀토니안의 경우 단일 큐비트 연산과 조합될 때 보편적 게이트 세트를 생성하는 데에 충분한가?
• RQ4 해당 물리적 해밀토니안을 $ n \equiv 0 \pmod{4} $ 와 $ n \equiv 2 \pmod{4} $ 의 경우 모두에 대해 사용할 수 있으며, 소수의 수정만으로도 fanout을 실현할 수 있는가?
• RQ5 이러한 이차 상호작용 항을 포함한 해밀토니안이 실질적으로 실현 가능한 물리적 시스템(예: 스핀 체인, 포획 이온 등)이 존재하는가?

주요 결과

• n 이 짝수일 경우, $ H_n = J(\sum Z_i)^2 $ 에 따라 n 큐비트를 $ \pi/4 $ 시간 동안 진화시키면 전역 위상까지 고려하면 기수에 따라 위상 인자 $ i^{k(n-k)} $ 가 포함된 파리티 게이트를 실현한다.
• $ n \equiv 2 \pmod{4} $ 일 경우, 기수 상태에 대해 위상 인자는 $ i $ 이며, 짝수 기수 상태에 대해서는 1이다. 이는 헤르모니트 및 $ S^\dagger $ 게이트를 통해 fanout 게이트를 구성할 수 있음을 의미한다.
• 파리티 게이트와 단일 큐비트 연산을 조합하여 일정 깊이의 회로로 fanout 게이트를 실현할 수 있으며, 전체 회로는 $ U_n $ 를 오직 한 번만 적용한다.
• $ n \equiv 0 \pmod{4} $ 일 경우, 기수 상태에 대해 위상 인자는 $ -i $ 가 되므로, 정확한 위상 정렬을 유지하기 위해 $ U_n^{-1} $ 이 사용된다.
• 3 큐비트 해밀토니안 진화는 $ I_= $ 게이트를 생성하며, 이는 $ |abc\rangle $ 를 $ (-1)^{\delta_{ab}\delta_{ac}}|abc\rangle $ 로 매핑한다. 이 게이트는 단일 큐비트 게이트와 조합될 경우 양자 계산에 대해 보편적이다.
• 논문은 더 일반적인 해밀토니안 $ L_n = \sum_{i<j} J_{ij}(X_iX_j + Y_iY_j + Z_iZ_j) $ 도 파리티를 실현할 수 있을 것으로 추측하며, 더 넓은 물리적 적용 가능성을 제시한다.