[論文レビュー] Implicit Euler time discretization and FDM with Newton method in nonlinear heat transfer modeling

Stefan M. Filipov, István Faragó|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2018

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本論文は、時間方向に陰的エイラー法を適用し、偏微分方程式（PDE）を非線形2点境界値問題の系列に変換することで、温度依存の熱伝導率を有する非線形一時的熱伝達問題を解くための新しい数値的手法を提案する。空間方向には有限差分法（FDM）を用い、得られる非線形系はニュートン・ラプソン法により解かれる。非線形項の解析的導関数が導出され、収束の安定性が向上する。この手法はMATLABを用いて半導体の熱的データで検証され、複雑な熱的挙動のモデル化において安定性と精度を示した。

ABSTRACT

This paper considers one-dimensional heat transfer in a media with temperature-dependent thermal conductivity. To model the transient behavior of the system, we solve numerically the one-dimensional unsteady heat conduction equation with certain initial and boundary conditions. Contrary to the traditional approach, when the equation is first discretized in space and then in time, we first discretize the equation in time, whereby a sequence of nonlinear two-point boundary value problems is obtained. To carry out the time-discretization, we use the implicit Euler scheme. The second spatial derivative of the temperature is a nonlinear function of the temperature and the temperature gradient. We derive expressions for the partial derivatives of this nonlinear function. They are needed for the implementation of the Newton method. Then, we apply the finite difference method and solve the obtained nonlinear systems by Newton method. The approach is tested on real physical data for the dependence of the thermal conductivity on temperature in semiconductors. A MATLAB code is presented.

研究の動機と目的

• 温度依存の熱伝導率を有する材料における一時的熱伝導のモデル化の課題に対処すること。
• 時間と空間の離散化手順の順序を再考することで、熱伝達に由来する非線形偏微分方程式（PDE）の数値的安定性と精度を向上させること。
• 時間に離散化されたPDEから生じる非線形系を、解析的ヤコビ行列を用いたニュートン法により、強固に解くソルバーを開発すること。
• 実物理的データ（半導体）を用いて手法を検証し、実用的妥当性を確保すること。
• 再現可能性と工学的応用を考慮し、完全なMATLAB実装を提供すること。

提案手法

• 時間微分を陰的エイラースキームで離散化し、非定常PDEを定常非線形2点境界値問題の系列に変換する。
• 空間微分の2階微分を有限差分法で離散化し、熱伝導率の温度および温度勾配依存性を保持する。
• 熱伝導率を表す非線形関数の偏微分を解析的に導出し、ニュートン・ラプソン法による更新の精度を向上させる。
• 時間および空間に離散化されたPDEから生じる非線形方程式系を定式化し、導出したヤコビ行列を用いてニュートン法で反復的に解く。
• 各時間ステップでニュートン法を用いて非線形系を解き、2次収束性と安定性を確保する。
• 時間ステッピング、空間離散化、ライン探索を用いたニュートン反復を含む、完全なアルゴリズムをMATLABで実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間方向に陰的エイラー離散化を適用し、その後にFDMとニュートン法を用いる手法は、従来のオペレータ分割法と比較して、非線形熱伝達問題の解法においてどのように異なるか？
• RQ2 この文脈において、非線形熱伝導率関数の解析的導関数を用いることで、ニュートン法の収束性と安定性が向上するか？
• RQ3 本手法を実半導体熱伝導率データに適用した際の精度と安定性はいかがなものか？
• RQ4 線形化や簡略化を施さずに、熱伝導率の強い温度依存性に対しても、この手法はどのように対処するか？
• RQ5 標準的なMATLABフレームワークを用いて、本手法は効率的に実装可能で再現可能か？

主な発見

• 提案手法は、時間方向から空間方向に離散化を実行する戦略を用いて、温度依存の熱伝導率を有する一時的熱伝導を効果的にモデル化できた。
• ニュートン・ラプソン法に解析的導関数を適用することで、各時間ステップにおける非線形ソルバーの収束が高速かつ2次収束となることが保証された。
• 実半導体熱伝導率データに適用した結果、数値的安定性と精度が確認され、検証がなされた。
• MATLABにおける実装により、研究者やエンジニアが再現可能でアクセスしやすいフレームワークが提供された。
• 本手法は、非線形問題においてしばしば生じるオペレータ分割法に起因する誤差や不安定性を回避した。
• 数値的結果から、本手法が熱伝導率の非線形性が強い材料における熱伝達の物理的挙動を正しく捉えていることが確認された。