[論文レビュー] Impossibility of Classically Simulating One-Clean-Qubit Computation

Keisuke Fujii, Hirotada Kobayashi+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、多項式時間階層が第二レベルに崩壊するという可能性のある複雑性仮定の下で、1つのクリーン・キュービット（DQC1）モデルの量子計算は、古典的コンピュータでは効率的にシミュレートできないことを証明している。著者たちはDQC1と複雑性クラスSBQPとの間の関係を確立することで、DQC1のシミュレーションが多項式階層の崩壊を意味することを示し、KnillとLaflammeが提起した長年の未解決問題を解決した。

ABSTRACT

Deterministic quantum computation with one quantum bit (DQC1) is a restricted model of quantum computing where the input state is the completely mixed state except for a single clean qubit, and only a single output qubit is measured at the end of the computing. It is proved that the restriction of quantum computation to the DQC1 model does not change the complexity classes NQP and SBQP. As a main consequence, it follows that the DQC1 model cannot be efficiently simulated by classical computers unless the polynomial-time hierarchy collapses to the second level (more precisely, to AM), which answers the long-standing open problem posed by Knill and Laflamme under the very plausible complexity assumption. The argument developed in this paper also weakens the complexity assumption necessary for the existing impossibility results on classical simulation of various sub-universal quantum computing models, such as the IQP model and the Boson sampling.

研究の動機と目的

• 1つのクリーン・キュービット（DQC1）モデルが、古典的に効率的にシミュレート可能かどうかという長年の未解決問題を解明すること。
• DQC1の古典的シミュレーションの複雑性理論的障壁を、多項式階層に結びつけることで確立すること。
• IQP やボソンサンプリングのような部分的にユニバーサルな量子モデルにおける不可能性結果に必要な複雑性仮定を強化すること。
• DQC1がその制限された性質にもかかわらず、古典的シミュレーションを超える非古典的計算能力を示していることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、1つのキュービットのみがクリーンで、残りが最大混合状態であるDQC1モデルを分析し、それが複雑性クラスSBQPを捉えていることを示した。
• 彼らはDQC1モデルがNQPおよびSBQPに属する問題を計算できることを証明し、効率的な古典的シミュレーションが多項式階層をAMにまで崩壊させることを示した。
• 先行研究とは異なり、後選択を避けるために、直接的な複雑性理論的還元を用いることで、この議論を実現した。
• 彼らは、多項式回の出力キュービットを持つIQP DQC1回路が、古典的に強くシミュレート可能であることを示し、一般のIQP回路の困難さとは対照的である。
• 証明は、DQC1回路がビット反転操作と可換であるという事実に依存しており、対称性とグラフ状態の性質を用いて出力確率を効率的に古典的に計算可能である。
• 鍵となる洞察は、DQC1回路の出力確率分布が、ユニタリ行列の構造とビット反転操作に対する対称性のおかげで、IQP型の回路では古典的多項式時間内に計算可能になることである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つのクリーン・キュービット（DQC1）モデルは、古典的コンピュータによって効率的にシミュレート可能だろうか？
• RQ2 DQC1の計算能力が、もし古典的にシミュレート可能であれば、多項式階層が崩壊するだろうか？
• RQ3 DQC1の複雑さは、IQP やボソンサンプリングといった他の部分的にユニバーサルなモデルと比べて、古典的シミュレーションの難易度においてどのように異なるのか？
• RQ4 以前の結果とは異なり、後選択に依存せずに、DQC1の古典的シミュレーションの不可能性を示すことは可能だろうか？
• RQ5 DQC1と複雑性クラスNQPおよびSBQPとの正確な関係は何か？

主な発見

• DQC1モデルは複雑性クラスSBQPを捉えている。つまり、DQC1はSBQPに属する問題を効率的に解ける。
• DQC1が効率的に古典的にシミュレート可能であれば、多項式階層は第二レベル（具体的にはAM）に崩壊する。これは、ありそうな複雑性仮定の下での話である。
• この結果により、KnillとLaflammeが提起したDQC1の古典的シミュレータビリティに関する長年の未解決問題が解決された。
• 証明手法は後選択を避けているため、より強固で、後選択を持たないモデルにも適用可能である。
• 著者たちは、IQP DQC1回路が古典的に強くシミュレート可能であることを示した。これは、一般のIQP回路の困難さとは対照的である。
• 分析により、DQC1回路の出力確率が、対称性とビット反転操作との可換性のおかげで、古典的多項式時間内に計算可能であることが明らかになった。