[論文レビュー] Improved MPC Algorithms for MIS, Matching, and Coloring on Trees and Beyond

Bateni, MohammadHossein, Behnezhad, Soheil+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Algorithms and Data Compression参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、マス・パラレルコンputation（MPC）モデルにおける木構造上の動的計画法の並列化のための一般化されたアルゴリズム的フレームワークを提示する。本研究では、O(log n)ラウンドでサブラインハのメモリを各マシンが使用する条件下で解ける2つの問題クラス—(poly log)-表現可能および線形表現可能—を導入し、最小二部分割、最大独立集合、最長パスといった基本的な木問題の効率的なMPC実装を可能にする。

ABSTRACT

Dynamic programming is a powerful technique that is, unfortunately, often inherently sequential. That is, there exists no unified method to parallelize algorithms that use dynamic programming. In this paper, we attempt to address this issue in the Massively Parallel Computations (MPC) model which is a popular abstraction of MapReduce-like paradigms. Our main result is an algorithmic framework to adapt a large family of dynamic programs defined over trees. We introduce two classes of graph problems that admit dynamic programming solutions on trees. We refer to them as "(polylog)-expressible" and "linear-expressible" problems. We show that both classes can be parallelized in $O(\log n)$ rounds using a sublinear number of machines and a sublinear memory per machine. To achieve this result, we introduce a series of techniques that can be plugged together. To illustrate the generality of our framework, we implement in $O(\log n)$ rounds of MPC, the dynamic programming solution of graph problems such as minimum bisection, $k$-spanning tree, maximum independent set, longest path, etc., when the input graph is a tree.

研究の動機と目的

• 大規模な分散環境における動的計画法の本質的な逐次性に対処すること。
• 木構造上の動的計画法の効率的並列化を可能にする統一的なMPCフレームワークの開発。
• 効率的なMPC解法を許容するグラフ問題のクラス—(poly log)-表現可能および線形表現可能—の特定と形式的定式化。
• 多様な木最適化問題に対する解法の実装を通じて、フレームワークの一般性を示すこと。

提案手法

• 木構造上の2つの問題クラス—(poly log)-表現可能および線形表現可能—を導入する。
• 各部分木の状態が境界頂点の彩色と非補助頂点の数に依存する動的計画法の定式化を定義する。
• 部分解を部分木間で効率的に統合するための「ユニファイア」（U）および「サブユニファイア」（S）関数を用いる。
• 補助頂点を導入することで二分木変換を実施し、親子関係の一貫性などの構造的制約を強制するが、解のコストに影響を与えない。
• マシンが部分木を処理し、ラウンド境界でのみ通信する再帰的で下向きのMPC計算を採用する。
• 各マシンがO(n/m)のデータを処理し、各ラウンドで多項式時間で実行可能なサブラインハのメモリとマシン数を活用してスケーラビリティを確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的計画法の本質的な逐次性を考慮しても、MPCモデルにおける木構造上の動的計画法は効果的に並列化可能か？
• RQ2 木問題のどのような構造的性質が、MPC環境下での効率的並列化を可能にするか？
• RQ3 O(log n)ラウンドで多数の木最適化問題を扱える統一フレームワークを設計可能か？
• RQ4 最小限の通信とメモリで、部分木間の動的計画法状態をどのように統合できるか？
• RQ5 木構造上でサブラインハのメモリとO(log n)ラウンドで解ける問題に必要な条件は何か？

主な発見

• 本論文は、(poly log)-表現可能および線形表現可能な木問題が、サブラインハのメモリを各マシンが使用する条件下でO(log n)ラウンドで解けることを証明している。
• 最小二部分割問題は、m台のマシンが利用可能な場合、各マシンがeO(n4/3/m)のメモリを使用する条件下で、高確率でO(log n)ラウンドで解ける。
• 本フレームワークは、最大独立集合、最長パス、最小頂点被覆、k-スパニングツリーといった多様な問題の効率的なMPC実装をサポートする。
• 最小二部分割の解法は、親子関係の一貫性を保証するため、無限大の辺重みを持つ補助頂点を用いる。これにより、部分木解の正しく統合が保証される。
• ユニファイアおよびサブユニファイア関数により、木の分割に跨る部分動的計画法状態の正しく効率的な統合が可能になる。
• 本アプローチは、k-最大スパニングツリーおよび施設配置問題など他の問題にも拡張可能であり、木構造最適化への広範な適用可能性を示唆している。