[論文レビュー] Improved quantum test for linearity of a Boolean function

Kaushik Chakraborty, Subhamoy Maitra|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ブール関数がアフィン（線形または定数項付き）であるか、または任意のアフィン関数からε-遠く離れているかをテストする量子アルゴリズムを提示する。デュイッチ＝ジョーズァとグローバーのアルゴリズムを組み合わせることで、O(ε⁻¹ᐟ²)のクエリ複雑度を達成する。この手法は、デュイッチ＝ジョーズァアルゴリズムの出力に対して振幅増幅を適用し、非アフィン性を高確率で検出する。これは、以前の量子境界O(ε⁻²ᐟ³)を上回る改善である。

ABSTRACT

Let a Boolean function be available as a black-box (oracle) and one likes to devise an algorithm to test whether it has certain property or it is $ε$-far from having that property. The efficiency of the algorithm is judged by the number of calls to the oracle so that one can decide, with high probability, between these two alternatives. The best known quantum algorithm for testing whether a function is linear or $ε$-far $(0 < ε< \frac{1}{2})$ from linear functions requires $O(ε^{-\frac{2}{3}})$ many calls [Hillery and Andersson, Physical Review A 84, 062329 (2011)]. We show that this can be improved to $O(ε^{-\frac{1}{2}})$ by using the Deutsch-Jozsa and the Grover Algorithms.

研究の動機と目的

• ブール関数がアフィンであるか、またはアフィン関数からε-離れているかをテストするための量子クエリ複雑度を低減すること。
• 量子振幅増幅を活用することで、線形性テストにおける既存の量子境界O(ε⁻²ᐟ³)を改善すること。
• 量子クエリ複雑度における性質テストにおいて、ウォルシュスペクトル、デュイッチ＝ジョーズァ、およびグローバーのアルゴリズムの相乗作用を解明すること。
• グローバーの最適性が示唆する理論的限界に近い、よりタイトなクエリ複雑度の境界を確立すること。

提案手法

• ブール関数オракルにデュイッチ＝ジョーズァアルゴリズムを適用し、ウォルシュスペクトルの情報を符号化した量子状態|Ψ⟩を準備する。
• 得られた状態を測定して、関数がアフィンである場合に非ゼロの振幅を持つ唯一の入力a⁽⁰⁾の候補を得る。
• a⁽⁰⁾以外のすべての入力をマークするグローバー風のオラクルg(x)を構築し、|a⁽⁰⁾⟩に直交する部分空間における振幅増幅を可能にする。
• t回のグローバー拡散演算子とオラクルgを組み合わせて、|a⁽⁰⁾⟩以外の状態の振幅を増幅する。
• 関数がアフィンでない場合、t回の反復後に|a⁽⁰⁾⟩の振幅が低下し、測定結果がa⁽⁰⁾と異なることになる。
• 最終的な測定結果がa⁽⁰⁾と異なれば、非アフィン性を終了して報告する。それ以外の場合は、高い信頼性で関数はアフィンであると報告する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムを用いて、O(ε⁻²ᐟ³)を超えるアフィン関数のクエリ複雑度を改善できるか？
• RQ2 デュイッチ＝ジョーズァアルゴリズムの出力を、性質テストにおける振幅増幅の出発点としてどのように活用できるか？
• RQ3 ε-遠く離れた関数に対して、非アフィン性を高確率で検出するための最適なグローバー反復回数は何か？
• RQ4 クエリ複雑度はεに対してどのようにスケーリングするか？また、グローバーのアルゴリズムが示唆する理論的下界に近づけるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、O(ε⁻¹ᐟ²)のクエリ複雑度を達成しており、以前の量子境界O(ε⁻²ᐟ³)を上回る改善を実現している。
• アルゴリズムは、デュイッチ＝ジョーズァアルゴリズムの出力に対して振幅増幅を適用し、非アフィン性を高確率で検出する。
• ε-遠く離れた関数に対しては、t ≈ O(√(1/ε))回のグローバー反復後に初期状態|a⁽⁰⁾⟩の振幅が低下し、測定結果がa⁽⁰⁾と異なる確率が2/3以上になる。
• 解析により、関数がε-遠く離れているとき、sinθ ≥ √(2ε)が成り立つことが示され、非アフィン性の検出確率を増幅するグローバー法の適用が可能になる。
• 関数がアフィン集合から定数距離δのとき、アルゴリズムはO(2ⁿᐟ²)の時間で実行され、δ = 2ⁿ/ζ(n)のときにはO(√ζ(n))の時間で実行され、非常に非線形な関数に対しても効率的である。
• グローバーのアルゴリズムの最適性を考慮すると、O(ε⁻¹ᐟ²)未満の改善は不可能である可能性が示唆され、提案手法がほぼ最適であることが示唆される。