[論文レビュー] In which spaces is every curve Lebesgue-Pettis integrable?

Heinrich von Weizsäcker|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、実数の局所凸ハウスドルフ空間 E が、[0,1] から E への連続曲線がすべてルベーグ＝ペッティス可積分であるという性質を持つことと、E が「度量的凸コンパクト性性質」を満たすこと、すなわち任意のコンパクトな距離化可能な部分集合の閉凸包がコンパクトであることとが同値であることを確立している。この同値性により、ペッティス可積分性と位相的完備性条件が結びつけられ、ルベーグ可測関数とゲージ汎関数を用いてバナッハ空間を超えたボッハナー積分枠組みが拡張される。

ABSTRACT

In a real locally convex Hausdorff space the closed convex hull of every metrizable compact set is compact if (and only if) every continuous curve has a Pettis integral with respect to Lebesgue measure. For such spaces there is a natural concept of Bochner integrals.

研究の動機と目的

• すべての連続曲線がルベーグ＝ペッティス可積分であることを保証するような局所凸ハウスドルフ空間 E を特定すること。
• 局所凸空間における連続曲線のペッティス可積分性と位相的完備性性質との関係を明確にすること。
• ルベーグ可測関数とゲージ汎関数を用いて、バナッハ空間を超えた E 値関数へのボッハナー積分枠組みの自然な拡張を達成すること。
• 単位区間上でルベーグ測度を用いたすべての連続曲線のペッティス可積分性と、度量的凸コンパクト性性質が同値であることを示すこと。

提案手法

• E が度量的凸コンパクト性性質を満たすならば、任意の連続曲線 f:[0,1]→E の像はコンパクトかつ距離化可能であり、その閉凸包もコンパクトであるため、重心が存在し、結果としてペッティス可積分性が保証されることを証明する。
• 連続な f に対して、押し出し測度 μ=λ∘f⁻¹ に対してペッティス可積分性と重心の存在が同値であることを利用する。
• Pfister (1981) の結果を適用し、度量的凸コンパクト性が、コンパクト距離空間上のボレル測度を伴うすべての E 値連続関数のペッティス可積分性を示すこと。
• 任意の確率測度がコンパクトな距離化可能な台を持つ E 上で、それが [0,1] からの連続写像によるルベーグ測度の押し出しとして得られることを示すことにより、一般の場合を単位区間に還元する。
• 度量的凸コンパクト性のもとで、ゲージ汎関数の積分が有限であるような Lusin 可測関数に対して、その関数がペッティス可積分であることを示すことにより、結果を Lusin 可測関数に拡張する。
• 測度の離散的成分を、スケーリングされたコンパクト集合に非原子的で支持を持つものに置き換える正則化技術を用い、重心を保存するとともに、度量的凸コンパクト性性質を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの局所凸ハウスドルフ空間 E に対して、任意の連続曲線 f:[0,1]→E がルベーグ＝ペッティス可積分であるか？
• RQ2 「任意のコンパクトな距離化可能な部分集合の閉凸包がコンパクトである」という度量的凸コンパクト性性質は、[0,1] 上のすべての連続曲線のペッティス可積分性と同値か？
• RQ3 Lusin 可測性とゲージ汎関数を用いて、バナッハ空間を超えた E 値関数へのボッハナー積分を自然に拡張できるか？
• RQ4 有界閉絶対凸集合 D⊂E 上の任意の有限で度的に正則な測度 μ に対して、その重心が E 内に存在することは、E が度量的凸コンパクト性性質を満たすことと同値か？

主な発見

• 実数の局所凸ハウスドルフ空間 E が、任意の連続曲線 f:[0,1]→E がルベーグ＝ペッティス可積分であるという性質を持つことと、E が度量的凸コンパクト性性質を満たすこととは同値である。
• 度量的凸コンパクト性性質は、コンパクト距離空間上のボレル測度を伴うすべての E 値連続関数のペッティス可積分性と同値である。
• 有界閉絶対凸集合 D⊂E 上の任意の有限で度的に正則な測度の重心が E 内に存在することは、E が度量的凸コンパクト性性質を満たすことと同値である。
• E が度量的凸コンパクト性性質を満たす限り、∫φ_D∘g dν<∞ を満たす Lusin 可測関数 g:X→E のペッティス積分は適切に定義され、E に値をとる。
• コンパクトで距離化可能な台を持つ一般の確率測度 μ の重心は、点質量を区間上の一様分布に置き換える正則化によって保存され、E 内に存在することが保証される。
• 度量的凸コンパクト性条件のもとで、分離可能で本質的値域が可分である Lusin 可測関数のペッティス積分は、ボッハナー積分に拡張可能である。