[論文レビュー] Inclusion of spectrahedra, dilations, the matrix cube problem and coin tossing

J. William Helton, Igor Klep+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Matrix Theory and Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

本稿は鋭い拡大結果を確立する：有界な自由スペクトラヒドロン内にある任意の d×d 実対称行列の組は、スケール因子 𝜗(d) を除いて、対応するスペクトラヒドロンに含まれる共通スペクトルを持つ可換自己共役作用素に拡大可能である。𝜗(d) の解析的公式は、二項分布およびベータ分布に関する新たな確率論的洞察を提供し、線形行列不等式の自由緩和における最悪ケース誤差を定量的に特定する。

ABSTRACT

An operator C on a Hilbert space H dilates to an operator T on a Hilbert space K if there is an isometry V from H to K such that C=V^*TV. A main result of this paper is, for a positive integer d, the simultaneous dilation, up to a sharp factor $\vartheta(d)$, of all d-by-d symmetric matrices of operator norm at most one to a collection of commuting self-adjoint contraction operators on a Hilbert space. An analytic formula for $\vartheta(d)$ is derived, which as a by-product gives new probabilistic results for the binomial and beta distributions. Dilating to commuting operators has consequences for the theory of linear matrix inequalities (LMIs). Given a tuple A=(A_1,...,A_g) of symmetric matrices of the same size, L(x):=I-\sum A_j x_j is a monic linear pencil. The solution set S_L of the corresponding linear matrix inequality, consisting of those x in R^g for which L(x) is positive semidefinite (PsD), is a spectrahedron. The set D_L of tuples X=(X_1,...,X_g) of symmetric matrices (of the same size) for which L(X):=I-\sum A_j \otimes X_j is PsD, is a free spectrahedron. A result here is: any tuple X of d-by-d symmetric matrices in a bounded free spectrahedron D_L dilates, up to a scale factor, to a tuple T of commuting self-adjoint operators with joint spectrum in the corresponding spectrahedron S_L. From another viewpoint, the scale factor measures the extent that a positive map can fail to be completely positive. Given another monic linear pencil M, the inclusion D_L \subset D_M obviously implies the inclusion S_L \subset S_M and thus can be thought of as its free relaxation. Determining if one free spectrahedron contains another can be done by solving an explicit LMI and is thus computationally tractable. The scale factor for commutative dilation of D_L gives a precise measure of the worst case error inherent in the free relaxation, over all monic linear pencils M of size d.

研究の動機と目的

• 有界な自由スペクトラヒドロン内に存在する d×d 実対称行列の組に対して一様な拡大結果を確立すること。
• 作用素理論と特殊関数を結びつける、鋭い拡大係数 𝜗(d) の明示的解析的公式を導出すること。
• スケール係数 𝜗(d) を用いて、線形行列不等式（LMIs）の自由緩和における最悪ケース誤差を定量化すること。
• 導出された公式を通じて、拡大問題を二項分布およびベータ分布の確率論的性質と結びつけること。

提案手法

• d×d 実対称行列をより大きなヒルベルト空間上での可換自己共役作用素に埋め込むための作用素拡大理論の使用。
• スペクトル的および関数解析的手法を用いて、鋭い拡大係数 𝜗(d) の解析的表現を導出すること。
• 拡大結果を自由スペクトラヒドロンに適用し、D_L に属する任意の組 X が、スケール因子 𝜗(d) をかけた対応するスペクトラヒドロン S_L に含まれる共通スペクトルを持つ可換組 T に拡大可能であることを示すこと。
• 完全正値性と正値写像の関係を活用し、スケール係数を完全正値性の失敗度の尺度として解釈すること。
• monic 線形ペニル L(x) = I - ∑A_j x_j 及びその自由版 L(X) = I - ∑A_j ⊗ X_j を用いて、スペクトラヒドロンおよび自由スペクトラヒドロンを定義すること。
• LMIの可解性の計算的扱いやすさを応用し、自由スペクトラヒドロン D_L ⊂ D_M の包含関係を、スケール係数 𝜗(d) と結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのノルム ≤1 の d×d 実対称行列を同時に可換自己共役作用素に拡大可能にする鋭い拡大係数 𝜗(d) は何か？
• RQ2 導出された 𝜗(d) の公式が、二項分布およびベータ分布に対してどのように新たな結果をもたらすか？
• RQ3 線形行列不等式の自由緩和が包含関係を保存しなくなる程度はどの程度で、その度合いはスケール係数によってどのように特定されるか？
• RQ4 自由スペクトラヒドロン D_L ⊂ D_M の包含関係は、拡大係数に関連する計算的に扱いやすい条件によって特徴付けられるか？
• RQ5 スケール係数 𝜗(d) は、スペクトラヒドロンの自由緩和による近似における最悪ケース誤差をどのように測定するか？

主な発見

• 本稿では、ノルム ≤1 のすべての d×d 実対称行列を可換自己共役作用素に拡大するために必要な最小スケーリングを定量化する、明示的な解析的公式 𝜗(d) を導出している。
• 𝜗(d) の公式は、その関数的形から、二項分布およびベータ分布に関連する新たな確率的恒等式を導く。
• 有界な自由スペクトラヒドロン D_L に属する任意の d×d 実対称行列の組 X は、スケール因子 𝜗(d) をかけた対応するスペクトラヒドロン S_L に含まれる共通スペクトルを持つ可換作用素の組 T に拡大可能である。
• 自由スペクトラヒドロンの包含関係 D_L ⊂ D_M は、S_L ⊂ S_M を含意し、スケール係数 𝜗(d) は、すべてのサイズ d の monic 線形ペニルに対して、この自由緩和における最悪ケース誤差を正確に測定する。
• D_L ⊂ D_M かどうかを判定する問題は、明示的な線形行列不等式を解くことへ帰着されるため、計算的に扱いやすい。
• スケール係数 𝜗(d) は、正値写像が完全正値性をどれほど逸脱するかを定量的に測る尺度を提供し、作用素理論と凸幾何学、確率論を結びつける。