[論文レビュー] Indefinite Sturm-Liouville operators $ (\sgn x) (- \frac{d^2}{dx^2} +q(x))$ with finite-zone potentials

Illya M. Karabash, M. M. Malamud|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 26被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$ A = (\operatorname{sgn}x)(-d^2/dx^2 + q(x)) $ の形をした不定Sturm-Liouville作用素が自己共役作用素または正規作用素に類似する条件を、特に $ q(x) $ が有限ゾーンポテンシャルである場合に調査する。Weyl関数と重み付きHilbert変換推定を用いて、類似性の必要十分条件を確立し、$ A $ が自己共役作用素に類似するための条件として、Weyl関数が特定の積分的および $ L^\infty $-有界性条件を満たすこと、および1ゾーンポテンシャルに対して明示的な基準が導かれることが示されている。

ABSTRACT

The indefinite Sturm-Liouville operator $A = (\sgn x)(-d^2/dx^2+q(x))$ is studied. It is proved that similarity of $A$ to a selfadjoint operator is equivalent to integral estimates of Cauchy integrals. Also similarity conditions in terms of Weyl functions are given. For operators with a finite-zone potential, the components $\Aess$ and $\Adisc$ of $A$ corresponding to essential and discrete spectrums, respectively, are considered. A criterion of similarity of $\Aess$ to a selfadjoint operator is given in terms of Weyl functions for the Sturm-Liouville operator $-d^2/dx^2+q(x)$ with a finite-zone potential $q$. Jordan structure of the operator $\Adisc$ is described. We present an example of the operator $A = (\sgn x)(-d^2/dx^2+q(x))$ such that $A$ is nondefinitizable and $A$ is similar to a normal operator.

研究の動機と目的

• 不定Sturm-Liouville作用素 $ A = (\operatorname{sgn}x)(-d^2/dx^2 + q(x)) $ が自己共役作用素に類似するための条件を同定すること。
• 特に有限ゾーンポテンシャルの場合に、$ A $ のスペクトル分解（本質的スペクトル成分と離散スペクトル成分）を分析すること。
• 正と負の半直線への拡張に関連するWeyl関数を用いて、類似性の必要十分条件を確立すること。
• 離散スペクトル成分 $ A_{\text{disc}} $ のジョルダン構造を調査し、非定値化可能な作用素が正規作用素に類似する例を提示すること。
• 重み付きノルム不等式およびHilbert変換推定が、自己共役作用素への類似性を特徴付ける役割を果たすかを検討すること。

提案手法

• 作用素 $ A $ は、$ \mathbb{R}_\pm $ 上の最小対称作用素 $ A_{\min} = L^+_{\min} \oplus (-L^-_{\min}) $ の非自己共役拡張として分析される。ここで $ L^\pm_{\min} $ はそれぞれ正と負の半直線における最小Sturm-Liouville作用素である。
• Nevanlinna拡張 $ L^\pm_N $ に関連するWeyl関数 $ M_+(\lambda) = m_+(\lambda) $ および $ M_-(\lambda) = -m_-(\lambda) $ が定義され、これらは $ A $ のスペクトル的性質を特徴付けるために用いられる。
• $ A $ が自己共役作用素に類似する条件は、上半平面 $ \mathbb{C}_+ $ における比 $ \frac{M_+(\lambda) + M_-(\lambda)}{M_+(\lambda) - M_-(\lambda)} $ の有界性、および $ \mathbb{R} $ 上での $ \frac{\operatorname{Im}M_+(t) + \operatorname{Im}M_-(t)}{M_+(t) - M_-(t)} $ の $ L^\infty $-有界性に関連している。
• Hilbert変換の重み付き $ L^2 $ 推定が導かれ、類似性の必要条件が得られる。具体的には、スペクトル測度と $ g^\pm \cdot d\Sigma_\pm $ のHilbert変換を含む積分不等式 (1.2) が類似性の必要条件となる。
• 本質的スペクトル成分 $ A_{\text{ess}} $ は、元の自己共役作用素 $ L = -d^2/dx^2 + q(x) $ のWeyl関数を用いて分析され、その自己共役作用素への類似性に関する基準が確立されている。
• 1ゾーンポテンシャル $ q_1, q_2, q_3 $ を用いた明示的な例が構成され、条件の鋭さが示されている。特に、$ A $ が非定値化可能であっても正規作用素に類似する場合があることが、例7.3（$ q_3 $ に対して）で示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不定Sturm-Liouville作用素 $ A = (\operatorname{sgn}x)(-d^2/dx^2 + q(x)) $ が自己共役作用素に類似する条件は何か？
• RQ2 正と負の半直線への拡張に関連するWeyl関数 $ M_+(\lambda) $ と $ M_-(\lambda) $ は、$ A $ のスペクトル的性質および類似性にどのように寄与するか？
• RQ3 離散スペクトル成分 $ A_{\text{disc}} $ のジョルダン構造は何か？ そして、それは $ A $ が自己共役または正規作用素に類似する条件にどのように影響するか？
• RQ4 $ A $ が非定値化可能であっても、正規作用素に類似可能である場合があるか？ そのような場合の条件は何か？
• RQ5 重み付きHilbert変換推定および積分条件（例：(1.2)）は、$ A $ の類似性問題とどのように関係しているか？

主な発見

• $ A $ が自己共役作用素に類似するための必要十分条件は、Weyl関数 $ M_+ $ と $ M_- $ が $ \sup_{\lambda \in \mathbb{C}_+} \left| \frac{M_+(\lambda) + M_-(\lambda)}{M_+(\lambda) - M_-(\lambda)} \right| < \infty $ を満たすことである。
• 1ゾーンポテンシャル $ q_2(x) $ に対して、$ A(\xi, q_2) $ が自己共役作用素に類似するための必要十分条件は、$ k^2 \leq \frac{1}{2} $ のとき $ \xi \in [-\frac{1}{2}, -k^2] \cup [0, \infty) $ であり、$ k^2 > \frac{1}{2} $ のときは $ \xi \geq 0 $ である。
• $ A $ が非定値化可能であっても、正規作用素に類似可能である。例7.3（$ q_3 $ を用いて）では、$ A(\xi, q_3) $ が2つの単純な非実固有値をもつが、依然として正規作用素に類似していることが示されている。
• 自己共役作用素への類似性のための必要条件として、$ \frac{\operatorname{Im}M_+(t) + \operatorname{Im}M_-(t)}{M_+(t) - M_-(t)} \in L^\infty(\mathbb{R}) $ が成り立つ。さらに、より強い条件 (1.5) が十分条件である。
• Hilbert変換 $ g^\pm \cdot d\Sigma_\pm $ を含む積分推定 (1.2) は類似性の必要条件を提供するが、$ \sigma_{\text{disc}}(A) = \emptyset $ の仮定の下では十分条件であると予想されている。
• 例7.1は、条件 (1.5) が類似性に必要ではないことを示している。$ \xi > 0 $ のとき $ A(\xi, q_1) $ は自己共役作用素に類似しているが、固有値 $ \lambda_\pm(\xi) $ の近傍で比が有界でないにもかかわらず、そのような類似性が成立している。