[論文レビュー] Independent Set on P$_k$-Free Graphs in Quasi-Polynomial Time

Peter Gartland, Daniel Lokshtanov|arXiv (Cornell University)|May 2, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の固定された $k$ に対して、$P_k$-free 図形上の重み付き独立集合問題に対する最初の擬多項式時間アルゴリズムを提示する。実行時間は $n^{O(k^2 /\log^3 n)}$ である。この手法は、高次数頂点に対する反復的ブランチ戦略と構造的分解を組み合わせており、Thomassé が提起した未解決問題を解決するとともに、$P_k$-free 図形上での問題が NP 完全でない可能性を強く示唆する。

ABSTRACT

We present an algorithm that takes as input a graph $G$ with weights on the vertices, and computes a maximum weight independent set $S$ of $G$. If the input graph $G$ excludes a path $P_k$ on $k$ vertices as an induced subgraph, the algorithm runs in time $n^{O(k^2 \log^3 n)}$. Hence, for every fixed $k$ our algorithm runs in quasi-polynomial time. This resolves in the affirmative an open problem of [Thomassé, SODA'20 invited presentation]. Previous to this work, polynomial time algorithms were only known for $P_4$-free graphs [Corneil et al., DAM'81], $P_5$-free graphs [Lokshtanov et al., SODA'14], and $P_6$-free graphs [Grzesik et al., SODA'19]. For larger values of $t$, only $2^{O(\sqrt{kn\log n})}$ time algorithms [Bascó et al., Algorithmica'19] and quasi-polynomial time approximation schemes [Chudnovsky et al., SODA'20] were known. Thus, our work is the first to offer conclusive evidence that Independent Set on $P_k$-free graphs is not NP-complete for any integer $k$. Additionally we show that for every graph $H$, if there exists a quasi-polynomial time algorithm for Independent Set on $C$-free graphs for every connected component $C$ of $H$, then there also exists a quasi-polynomial time algorithm for {\sc Independent Set} on $H$-free graphs. This lifts our quasi-polynomial time algorithm to $T_k$-free graphs, where $T_k$ has one component that is a $P_k$, and $k-1$ components isomorphic to a fork (the unique $5$-vertex tree with a degree $3$ vertex).

研究の動機と目的

• Thomassé (SODA'20) が提起した、$P_k$-free 図形上での独立集合問題に対する擬多項式時間アルゴリズムの存在に関する未解決問題を解決すること。
• $P_6$-free 図形を超える多項式時間解法の境界を拡張すること。ここでは、$k \geq 8$ の場合、従来のアルゴリズムが失敗していた。
• 擬多項式時間の複雑性を達成することで、$P_k$-free 図形上での独立集合問題が任意の $k$ に対して NP 完全でない可能性を強く示唆すること。
• $T_k$-free 図形への一般化。ここで $T_k$ は $P_k$ と $k-1$ 個の互いに素なフォークから構成される。アルゴリズムをサブルーチンとして用いる。

提案手法

• 高次数頂点に基づく再帰的ブランチ戦略を用い、再帰の深さを追跡するための測度 $\mu$ を導入する。
• 再帰木のサイズを抑えられるように、$\mu[1 - 1/(8|H|^2 \cdot |\mathcal{CC}(H)| \cdot \log^2 \mu)]$ を含む再帰不等式を用いた、ブランチステップの洗練された解析を適用する。
• 再帰関係 $T_H(\mu) \leq T_H(\mu-1) + \mu^{O(1)} + 2T_H(\mu[1 - 1/(8|H|^2 \cdot |\mathcal{CC}(H)| \cdot \log^2 \mu)])$ が擬多項式時間複雑性をもたらすことを示す、鍵となる補題に依存する。
• $P_k$-free 図形用のアルゴリズムと、フォークを含まない図形に対して既知の多項式時間アルゴリズムを組み合わせることで、$T_k$-free 図形へのアルゴリズムの拡張を実現する。
• 各再帰呼び出しにおいて問題サイズを小さくしながら $H$-free 性を保つように、構造的分解を用いる。
• 時間計算量の指数を抑え込むために、$|\mathcal{CC}(H)|$（連結成分の数）と $|H|$（禁止グラフのサイズ）を活用する分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $k$ に対して、$P_k$-free 図形上での独立集合問題は擬多項式時間で解けるか？
• RQ2 $P_k$-free 図形上での擬多項式時間アルゴリズムの存在は、そのクラスにおいて問題が NP 完全でないことを示唆するか？
• RQ3 アルゴリズム枠組みは、複数の成分を含むより複雑な $H$ に対して $H$-free なグラフへ拡張可能か？
• RQ4 $k \geq 8$ の場合に従来の手法が失敗したにもかかわらず、$P_k$-free 図形に擬多項式時間解法を可能にする構造的性質は何か？

主な発見

• 本稿では、任意の固定された $k$ に対して、$P_k$-free 図形上での重み付き独立集合問題に対する擬多項式時間アルゴリズムを提示する。実行時間は $n^{O(k^2 \log^3 n)}$ である。
• これは、Thomassé (SODA’20) が提起した未解決問題を解決し、$k=6$ を超える $P_k$-free 図形に対して、初めてのこのようなアルゴリズムを提供する。
• 問題が擬多項式時間で解けるという事実から、$P_k$-free 図形上での独立集合問題が任意の $k$ に対して NP 完全でない可能性が強く示唆される。
• アルゴリズムは $T_k$-free 図形へ拡張され、時間計算量は $n^{O(k^3 \log^3 n)}$ に達する。
• 本稿では、グラフ $H'$ の各連結成分 $H$ に対して $H$-free 図形上での擬多項式時間アルゴリズムが存在するならば、$H'$-free 図形上でも同様のアルゴリズムが存在することを証明しており、$T_k$ への拡張を可能にする。
• 再帰木のサイズが $\mu^{O(|H|^2 \cdot |\mathcal{CC}(H)| \cdot \log^3 \mu)}$ で抑えられることを示し、これが最終的な擬多項式時間の境界を導く。