[論文レビュー] Index estimates for free boundary minimal hypersurfaces

Lucas Ambrozio, Alessandro Carlotto+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間の厳密に平均凸な領域における適切に埋め込まれた自由境界最小超曲面のモーズ指数に対して鋭い下界を確立し、それが第1相対ホモロジー群の次元に線形的に増加することを示している。主な結果は、曲率および凸性条件の下で一般のリーマン多様体へ拡張可能であり、凸領域内の最小曲面に対して強いコンパクト性および指数推定をもたらす。

ABSTRACT

We show that the Morse index of a properly embedded free boundary minimal hypersurface in a strictly mean convex domain of the Euclidean space grows linearly with the dimension of its first relative homology group (which is at least as big as the number of its boundary components, minus one). In ambient dimension three, this implies a lower bound for the index of a free boundary minimal surface which is linear both with respect to the genus and the number of boundary components. Thereby, the compactness theorem by Fraser and Li implies a strong compactness theorem for the space of free boundary minimal surfaces with uniformly bounded Morse index inside a convex domain. Our estimates also imply that the examples constructed, in the unit ball, by Fraser-Schoen and Folha-Pacard-Zolotareva have arbitrarily large index. Extensions of our results to more general settings (including various classes of positively curved Riemannian manifolds and other convexity assumptions) are discussed.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間の厳密に平均凸な領域における自由境界最小超曲面のモーズ指数に対して下界を確立すること。
• モーズ指数を位相的不変量、特に第1相対ホモロジー群および境界成分の数と関連付けること。
• 曲率および凸性条件の下で、指数推定をより一般的なリーマン多様体へ拡張すること。
• 凸領域における指数が一様に有界な自由境界最小曲面に対して強いコンパクト性定理を証明すること。
• 既知の例（例えば、Fraser-Schoen や Folha-Pacard-Zolotareva）が任意に大きな指数を持つことの検証。

提案手法

• N ∧ ω♯ の座標から得られるテスト関数とインデックス形式を用いる。ここで ω は接続境界条件を満たす調和1形式の空間に属する。
• アーモニウス多様体およびその境界のリーマン曲率テンソル、リッチ曲率、第二基本形式を含むピンチング条件を適用する。
• [1] の手法を組み合わせ、ホモロジー計算を用いてインデックスの下界を導出する。
• 接続境界条件を満たす調和1形式の空間の次元が dim H₁(M, ∂M; ℝ) に等しいという事実に依存する。
• 全測地的曲面に平行な1形式を誘導する定数ベクトル場の存在に基づく背理法を用いる。
• ℝᵈ への等長埋め込みリーマン多様体に対して、曲率および凸性仮定の下で指数推定を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由境界最小超曲面のモーズ指数は、その位相的複雑性とどのように関係するか？
• RQ2 ユークリッド領域において、第1相対ホモロジー群を用いて、指数に対する線形下界を確立できるか？
• RQ3 アーモニウスリーマン多様体にどのような条件が、このような指数推定を保証するか？
• RQ4 単位球内の自由境界最小超曲面の既知の例（例えば、Fraser-Schoen や Folha-Pacard-Zolotareva）は、無限大に達するモーズ指数を持つのか？
• RQ5 凸領域において指数が一様に有界であるならば、強いコンパクト性定理を導くことができるか？

主な発見

• ℝ^{n+1} の厳密に平均凸な領域における適切に埋め込まれた自由境界最小超曲面 M に対して、index(M) ≥ (2 / (n(n+1))) dim H₁(M, ∂M; ℝ) が成り立つ。
• 次元3において、 genus g および r 個の境界成分を持つ自由境界最小曲面について、index(M) ≥ (1/3)(2g + r - 1) が成り立つ。
• 単位球内の Fraser-Schoen や Folha-Pacard-Zolotareva の例は、任意に大きなモーズ指数を持つ。
• Fraser と Li のコンパクト性定理は、凸領域における指数が一様に有界な自由境界最小曲面に対して、強いコンパクト性結果へ強化される。
• 適切な曲率条件の下で、コンパクトなランク1対称空間および平坦トーラス内の厳密に平均凸な領域に対しても指数推定が拡張可能である。
• 2-凸領域では、dim H₁(M, ∂M; ℝ) と dim H_{n-1}(M, ∂M; ℝ) の重み付き組み合わせを用いた一般化された指数推定が成り立つ。