[論文レビュー] Index of transversally elliptic operators

Paul-Émile Paradan, Michèle Vergne|ArXiv.org|Apr 8, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、コンpaktoなリー群作用をもつコンパクト多様体上の横断的楕円型作用素に対して、コンパクト台付き係数をもつ一般化されたチャーン類と、軌道の余接バンドルの近傍に指数積分を局在化するパラボリック形式 ${\rm Par}(\omega)$ を用いて、コhomologicalな指数公式を確立する。主な結果は、楕円型でない横断的楕円型作用素へ、アティヤ＝ボット＝セゴール＝シンガーの公式を一般化し、等変形式を用いた余接バンドル上の積分により、群上の一般化関数として指数をコhomologicalに表現することを可能にする。

ABSTRACT

In 1996, Berline and Vergne gave a cohomological formula for the index of a transversally elliptic operator. In this paper we propose a new point of view where the cohomological formulae make use of equivariant Chern characters with generalized coefficients and with compact suppport. This kind of Chern characters was studied by the authors in a previous paper (see arXiv:0801.2822).

研究の動機と目的

• アティヤ＝ボット＝セゴール＝シンガーの等変指数定理を、滑らかではなく一般化関数である指数をとる横断的楕円型作用素へ拡張すること。
• シンボルが楕円型でない場合の等変形式の積分の困難を、パラボリック形式 ${\rm Par}(\omega)$ を用いてコンパクト台付き代表元を導入することで解決すること。
• 等変コhomologyと一般化係数を用いた単一のコhomological枠組み内で、楕円型および横断的楕円型作用素の取り扱いを統一すること。
• サポート付きチャーン類と、コhomologyにおいて1を表す局在化形式を用いた、指数の幾何学的・解析的構成を提供すること。

提案手法

• 余接バンドル $\mathbf{T}^{*}M$ 上に、$\mathbf{T}^{*}_{K}M$ の近傍に台を持つパラボリック形式 ${\rm Par}(\omega)(X) = \chi + d\chi \frac{\omega}{D\omega(X)}$ を導入し、等変コhomologyにおいて定数1を表す。
• 横断的楕円型シンボルに対して、コンパクト台付き係数をもつ一般化されたチャーン類 $\operatorname{Ch}_{\rm sup}(\sigma)(X)$ を定義し、積分可能性を保証する。
• クイレンのスーパーカラービジョン構成を用いて等変チャーン類 $\operatorname{Ch}(\sigma)(X)$ を定義し、${\rm Par}(\omega)(X)$ と組み合わせて、コンパクト台付きで閉じた等変形式を構成する。
• 非局所化指数公式を適用する：$\operatorname{index}(P)(e^X) = (2i\pi)^{-\dim M} \int_{\mathbf{T}^{*}M} \widehat{A}(M)^2(X) \operatorname{Ch}(\sigma)(X) {\rm Par}(\omega)(X)$ は、$X \in \mathfrak{k}$ が小さい場合に有効。
• 等長同型 $\mathbf{T}^{*}M \simeq E^{*} \oplus \mathbb{R}$ を用いて積分を $E^{*}$ と $\mathbb{R}$ におけるファイバー積分に分解し、明示的計算を可能にする。
• ファイバー積分が $E^{*}$ において逆Todd類 ${\rm Todd}(E^{*})(X)^{-1}$ を、$\mathbb{R}$ において $\mathcal{J}_{\alpha}(X)$ を与えることを証明し、最終的な指数公式に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アティヤ＝ボット＝セゴール＝シンガーの指数公式を、滑らかではなく一般化関数である指数をとる横断的楕円型作用素へどのように拡張できるか？
• RQ2 標準的なコンパクト台付き形式が非楕円性のため失敗する状況において、横断的楕円型作用素の指数の適切なコhomological代表元は何か？
• RQ3 閉じた、等変的で、$\mathbf{T}^{*}_{K}M$ の近傍に台を持ち、コhomologyにおいて1を表すパラボリック形式 ${\rm Par}(\omega)$ を構成できるか？
• RQ4 一般化されたチャーン類 $\operatorname{Ch}_{\rm sup}(\sigma)$ と ${\rm Par}(\omega)$ がどのように作用して、指数のwell-definedな積分を生じるか？
• RQ5 接触構造と $K$-不変な接触形式をもつシンボルに対して、指数の明示的コhomological表現は何か？

主な発見

• 横断的楕円型作用素 $P$ の指数は、${\rm Par}(\omega)$ がコhomologyにおいて1を表すコンパクト台付きで閉じた等変形式であることを用いて、$\operatorname{index}(P)(e^X) = (2i\pi)^{-\dim M} \int_{\mathbf{T}^{*}M} \widehat{A}(M)^2(X) \operatorname{Ch}(\sigma)(X) {\rm Par}(\omega)(X)$ で与えられる。
• シンボル $\sigma_b$ をもつ接触の場合、指数は $\operatorname{index}^{K,M}_{c}(\sigma_b)(e^X) = (2i\pi)^{-n} \int_M {\rm Todd}(E)(X) \mathcal{J}_{\alpha}(X)$ である。ここで $\mathcal{J}_{\alpha}(X) = \alpha \int_{\mathbb{R}} e^{itD\alpha(X)} dt$ である。
• ファイバー積分 $\operatorname{Ch}_{\rm sup}(\sigma_b)$ が $E^{*}$ において $(2i\pi)^n {\rm Todd}(E^{*})(X)^{-1}$ を、$\mathbb{R}$ において $(2i\pi) \mathcal{J}_{\alpha}(X)$ を与えることから、最終的な公式が導かれる。
• 公式は楕円型と横断的楕円型の両ケースを統一する：$P$ が楕円型の場合、公式はアティヤ＝ボット＝セゴール＝シンガーの固定点公式に還元される。
• ${\rm Par}(\omega)$ の構成 $\chi + d\chi \frac{\omega}{D\omega(X)}$ は、振動積分 $-i\int_0^\infty e^{itD\omega} dt$ を用いて、一般化された意味で適切に定義されることを保証する。
• 結果として、横断的楕円型作用素に対して、解析的指数と一致するコhomological指数が $\operatorname{Ch}_{\rm sup}(\sigma) {\rm Par}(\omega)$ を用いて定義可能であることが示された。