[論文レビュー] Induction and Co-induction in Sequent Calculus

Alwen Tiu, Alberto Momigliano|ArXiv.org|Dec 27, 2008

Logic, programming, and type systems参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、証明理論的定義の概念を通じて帰納的および余帰納的推論を高階抽象的帰納法（HOAS）と統合する、${\rm Linc}^{-}$ と呼ばれるシークエント計算を導入する。これは、余帰納的定義に対する最初のカット除去手続きを提供し、一貫性を保証するとともに、自由な等価性と内省的構文操作を伴う計算系の形式的推論を可能にする。

ABSTRACT

Proof search has been used to specify a wide range of computation systems. In order to build a framework for reasoning about such specifications, we make use of a sequent calculus involving induction and co-induction. These proof principles are based on a proof theoretic (rather than set-theoretic) notion of definition. Definitions are akin to (stratified) logic programs, where the left and right rules for defined atoms allow one to view theories as "closed" or defining fixed points. The use of definitions makes it possible to reason intensionally about syntax, in particular enforcing free equality via unification. We add in a consistent way rules for pre and post fixed points, thus allowing the user to reason inductively and co-inductively about properties of computational system making full use of higher-order abstract syntax. Consistency is guaranteed via cut-elimination, where we give the first, to our knowledge, cut-elimination procedure in the presence of general inductive and co-inductive definitions.

研究の動機と目的

• 証明支援ツールにおける標準的な（余）帰納的推論と HOAS エンコーディングの間の不整合性を解消すること。
• HOAS を用いた帰納的および余帰納的推論を一貫した枠組みで可能にする。
• ユニフィケーションによる自由な等価性の強制によって、HOAS における奇妙な項や適切性の喪失といった問題を克服すること。
• カット除去と一貫性を保ちつつ、帰納的および余帰納的推論を両立させる論理を設計すること。
• 一貫した証明理論的枠組みの中で、型保存性や双模倣合同性といったメタ理論的性質の形式的定式化を可能にすること。

提案手法

• 分層化論理プログラムに類似した証明理論的定義の概念を用いて、不動点を定義する。
• 帰納のための事前不動点と余帰納のための事後不動点を導入し、それぞれ不変量とシミュレーションに対応させる。
• 定義に分層条件を課して単調性を保証し、最小および最大不動点の存在を保証する。
• 帰納的および余帰納的規則を不動点方程式から導出するシークエント計算の枠組みを採用する。
• 高階項におけるユニフィケーションを通じて自由な等価性を強制し、HOAS コンストラクタの単射性、相異なる性、ケースの網羅性を実現する。
• カット除去を一貫性の証明として確立し、シークエント計算における余帰納的定義に対する最初の結果を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高階抽象的帰納法（HOAS）をサポートする高階論理において、帰納的および余帰納的推論を一貫して統合する方法は何か？
• RQ2 不動点定義が、一貫性を損なわずに帰納的および余帰納的推論を両立させる役割を果たす仕組みは何か？
• RQ3 一般の余帰納的定義を含むシークエント計算において、カット除去を確立できるか？
• RQ4 奇妙な項の発生や内省的制御の喪失を回避しながら、HOAS エンコーディングを完全に適切なものにできるか？
• RQ5 循環的証明と、提案された（余）帰納的推論のためのカット除去枠組みとの関係は何か？

主な発見

• ${\rm Linc}^{-}$ は $FO\lambda^{\Delta{\rm I}\!{\rm N}}$ の保存的拡張であり、マーチン・ローフの反復的帰納的定義の第一階理論を一般化する。
• 本稿は、一般の余帰納的定義を備えたシークエント計算における、初めてのカット除去手続きを提示し、一貫性を保証する。
• ${\rm Linc}^{-}$ における帰納的および余帰納的推論は、それぞれ事前不動点および事後不動点に基づき、不変量およびシミュレーションの形式的定式化を可能にする。
• ${\rm Linc}^{-}$ における HOAS エンコーディングは、ユニフィケーションを通じて自由性の性質（単射性、相異なる性、ケースの網羅性）を強制し、奇妙な項の発生を回避する。
• この枠組みは、操作的意味論における型保存性や双模倣合同性といったメタ理論的性質の形式的推論を可能にする。
• カット除去の結果は、${\rm Linc}^{-}$ を $\nabla$-量化子や循環的証明を含むより表現力の高いシステムに拡張する基盤を提供する。