[論文レビュー] Inequities in the Shanks-Renyi Prime Number Race: An asymptotic formula for the densities

Daniel Fiorilli, Greg Martin|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、$q$ を法として $a$ が平方非剰剰、$b$ が平方剰余であるシャンクス–レニー素数分布レースにおける対数的密度 $\delta(q;a,b)$ に対して、任意に小さい誤差項を有する漸近級数を確立する。主な貢献は、分散 $V(q;a,b)$ の正確な有限公式を導出したことであり、これにより $a$ と $b$ の算術的性質に基づいてバイアスの大きさを正確に予測可能となる。特に、素数べきの平方非剰余は非素数べきの平方非剰余よりも大きな密度を示すことが判明した。

ABSTRACT

Chebyshev was the first to observe a bias in the distribution of primes in residue classes. The general phenomenon is that if $a$ is a nonsquare\\mod q and $b$ is a square\\mod q, then there tend to be more primes congruent to $a\\mod q$ than $b\\mod q$ in initial intervals of the positive integers; more succinctly, there is a tendency for $\\pi(x;q,a)$ to exceed $\\pi(x;q,b)$. Rubinstein and Sarnak defined $\\delta(q;a,b)$ to be the logarithmic density of the set of positive real numbers $x$ for which this inequality holds; intuitively, $\\delta(q;a,b)$ is the "probability" that $\\pi(x;q,a) > \\pi(x;q,b)$ when $x$ is "chosen randomly". In this paper, we establish an asymptotic series for $\\delta(q;a,b)$ that can be instantiated with an error term smaller than any negative power of $q$. This asymptotic formula is written in terms of a variance $V(q;a,b)$ that is originally defined as an infinite sum over all nontrivial zeros of Dirichlet $L$-functions corresponding to characters\\mod q; we show how $V(q;a,b)$ can be evaluated exactly as a finite expression. In addition to providing the exact rate at which $\\delta(q;a,b)$ converges to $\\frac12$ as $q$ grows, these evaluations allow us to compare the various density values $\\delta(q;a,b)$ as $a$ and $b$ vary modulo $q$; by analyzing the resulting formulas, we can explain and predict which of these densities will be larger or smaller, based on arithmetic properties of the residue classes $a$ and $b\\mod q$. For example, we show that if $a$ is a prime power and $a'$ is not, then $\\delta(q;a,1) < \\delta(q;a',1)$ for all but finitely many moduli $q$ for which both $a$ and $a'$ are nonsquares. Finally, we establish rigorous numerical bounds for these densities $\\delta(q;a,b)$ and report on extensive calculations of them.

研究の動機と目的

• GRH および LI の下で、$q \to \infty$ の際にバイアス密度 $\delta(q;a,b)$ が $\frac{1}{2}$ にどれほど速く収束するかを定量化すること。
• 元々非自明なディリクレ $L$-関数の零点に関する無限和として定義された分散 $V(q;a,b)$ の明示的かつ有限な公式を導出すること。
• $a$ と $b$ の異なる剰余類 $\bmod q$ に対する $\delta(q;a,b)$ の相対的な大きさを、解析的零点ではなく算術的不変量を用いて予測・比較すること。
• 大規模な法に対して厳密な数値的境界を計算し、$\delta(q;a,b)$ を明示的に計算することで極端なバイアスを同定すること。

提案手法

• GRH および LI の下で、素数個数の乖離の特性関数を用いて $\delta(q;a,b)$ の漸近級数を導出する。
• ディリクレ指標に関する算術的和と解析的項の正確な評価を用いて、分散 $V(q;a,b)$ を有限和として表現する。
• 特性関数およびその微分の有界性を用いて、漸近展開における誤差項を制御する。
• ガウス過程としての $\pi(x;q,a) - \pi(x;q,b)$ の分布をモデル化するため、中心極限定理の枠組みを適用する。
• 古典的関数および指標和の明示的推定値を用いて、$V(q;a,b)$ および $\delta(q;a,b)$ の厳密な数値的境界を実装する。
• 大規模な計算を実施し、$\frac{9}{10}$ を超える密度の最大 117 種を同定・検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $q$ が増加する際、$\delta(q;a,b)$ が $\frac{1}{2}$ にどれほど速く収束するか。また、明示的な誤差項を用いてその速度を定量化可能か？
• RQ2 バイアスを支配する分散 $V(q;a,b)$ は、零点の無限和ではなく、有限表現として正確に計算可能か？
• RQ3 $a$ と $b$ の $q$ を法とする算術的性質は、$\delta(q;a,b)$ と $\delta(q;a',b')$ の大小関係をどのように決定するか？
• RQ4 なぜ特定の剰余類、例えば素数べきの平方非剰余は、他の類よりも一貫して大きな密度を示すのか？
• RQ5 $\delta(q;a,b)$ の最大値は何か。また、どのペア $(q,a,b)$ がその最大値を達成するか？

主な発見

• 本稿は、$q$ の任意の負のべきよりも小さい誤差項を有する $\delta(q;a,b)$ の漸近級数を導出しており、バイアス収束の高精度分析を可能にする。
• 分散 $V(q;a,b)$ が指標和および算術的データを含む有限和として正確に計算可能であることが示され、$L$-関数の零点の数値計算に依存しなくなった。
• 有限個の例外を除き、すべての $q$ に対して、$a$ が素数べきで $a'$ がそうでない場合、両者とも $q$ を法として平方非剰余である限り、$\delta(q;a,1) < \delta(q;a',1)$ が成り立つ。これは、非素数べきの平方非剰余に有利な構造的バイアスを示している。
• 著者らは、$\frac{9}{10}$ を超える 117 種の異なる密度値を計算・検証し、最大値は $\delta(24;5,1) = 0.999988$ であった。これは特定の素数分布レースに極めて強いバイアスが存在することを確認した。
• $\delta(q;a,b)$ に対して厳密な数値的境界が確立され、すべての計算値の正しさが保証された。また、ベイズ–ハドソンのミラー像現象は、導出された公式によって説明された。
• 本稿は、$\delta(q;a,1) = \delta(q;a^{-1},1)$ および $\delta(q;a,1) = \delta(q;ab,b)$ が、平方非剰余 $a$ および平方 $b$ に対して成り立つことを確認した。これにより、計算の対称性の検証が達成された。