[論文レビュー] Inference Under Convex Cone Alternatives for Correlated Data

Ramani S. Pilla|ArXiv.org|Jun 25, 2005

Statistical Methods and Inference参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、相関のあるデータにおける凸錐代替仮説の仮説検定に対して、一般化 quasi-score (GQS) 検定統計量を用いた漸近的推論を展開する。GQS検定統計量が、標準正規ベクトルが凸錐に射影される長さの二乗に漸近的に等しくなることが示され、その帰無分布は体積チューブの公式を用いて導かれる重み付きカイ二乗分布となる。これにより、局所代替仮説下での検出力解析が可能になる。

ABSTRACT

In this research, inferential theory for hypothesis testing under general convex cone alternatives for correlated data is developed. While there exists extensive theory for hypothesis testing under smooth cone alternatives with independent observations, extension to correlated data under general convex cone alternatives remains an open problem. This long-pending problem is addressed by (1) establishing that a "generalized quasi-score" statistic is asymptotically equivalent to the squared length of the projection of the standard Gaussian vector onto the convex cone and (2) showing that the asymptotic null distribution of the test statistic is a weighted chi-squared distribution, where the weights are "mixed volumes" of the convex cone and its polar cone. Explicit expressions for these weights are derived using the volume-of-tube formula around a convex manifold in the unit sphere. Furthermore, an asymptotic lower bound is constructed for the power of the generalized quasi-score test under a sequence of local alternatives in the convex cone. Applications to testing under order restricted alternatives for correlated data are illustrated.

研究の動機と目的

• 相関のあるデータにおける一般凸錐代替仮説の推論という未解決問題に取り組む。既存の理論は独立観測に限られている。
• 相関のあるデータにおける凸錐代替仮説の下で、一般化 quasi-score (GQS) 統計量の漸近的帰無分布を導出する。
• 単位球面上の凸多様体の体積チューブの公式に基づいて導かれる混合体積を用いて、漸近的帰無分布の重みを表現する。
• 凸錐内での局所代替仮説下におけるGQS検定の検出力の漸近的下界を構築する。
• 相関のあるデータや縦断的データにおける順序制約付き推論および単調回帰への応用を示す。

提案手法

• GQS統計量は、相関のあるデータにおけるスコア検定の漸近的近似として導出され、一般化モーメント法を二次的推定関数に拡張する。
• GQS統計量の漸近的帰無分布が、標準正規ベクトルが凸錐 $Ω$ に射影される長さの二乗に等しいことが示される。
• 帰無分布は、凸錐 $Ω$ 及びその双対錐 $Ω^\circ$ の混合体積によって与えられる重み付きカイ二乗分布として特徴付けられる。
• ホットチェリング＝ヴァイラー＝ナイマンの体積チューブの公式を用いて、凸多様体の周囲のチューブに対する体積を計算し、重みの明示的表現を導出する。
• スコアベクトルが錐方向に射影される非心パラメータを用いて、局所代替仮説下での漸近的検出力の下界を導出する。
• 本フレームワークを順序制約付き検定および単調回帰に適用し、局所代替仮説下での検定の検出力について数値比較を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般凸錐代替仮説の下で、独立なデータから相関のあるデータへの漸近的推論をどのように拡張できるか？
• RQ2 相関のあるデータにおける凸錐代替仮説の下で、一般化 quasi-score 統計量の漸近的帰無分布は何か？
• RQ3 非多面体錐に対しても、漸近的帰無分布の重みを明示的に計算できるか？
• RQ4 凸錐内での局所代替仮説下におけるGQS検定の漸近的下界は何か？
• RQ5 局所代替仮説下で、制約付き検定の検出力は制約なし検定と比べてどの程度か？

主な発見

• GQS統計量の漸近的帰無分布は、凸錐 $Ω$ 及びその双対錐 $Ω^\circ$ の混合体積から導かれる重み付きカイ二乗分布である。
• 重みは体積チューブの公式を用いて明示的に計算可能であり、非多面体錐に対しても解析的表現が可能になる。
• GQS検定統計量は、標準正規ベクトルが凸錐 $Ω$ に射影される長さの二乗に漸近的に等しい。
• 局所代替仮説下でのGQS検定の検出力の漸近的下界が導出され、制約付き検定が制約なし検定よりも局所代替仮説下で有意に検出力が高くなることが示された。
• $m=3$ 個の処置群と $φ = \pi/3$ の場合、非心パラメータ $\delta > 0$ のすべての値に対して、GQS検定 ${Σ}_N$ は ${Σ}_N^\star$ よりも高い局所検出力を示し、$\delta=2$ のとき検出力の上限が 0.518、$\delta=4$ のときが 0.980 であった。
• ${Σ}_N^\star$ の正確な漸近的局所検出力は $\delta=5$ で 0.996 であり、下界は 0.995 であった。これにより、下界のタイトさが確認された。