[論文レビュー] Infimal convolution regularisation functionals of BV and $\mathrm{L}^{p}$ spaces. Part I: The finite $p$ case

Martin Burger, Konstantinos Papafitsoros+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2015

Numerical methods in inverse problems被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、画像復元における階段状効果を低減するために、全 variation（TV）と L^p ノルムを組み合わせた、画像処理のための新しい TV–L^p 無限小畳み込み正則化関数を提案する。well-posedness の証明、p=2 の場合の正確な 1D 解の導出（Huber-TV に等価）、p の増加により分(piecewise) affine 再構成が向上し、鋭い特徴をより良く保持することが示され、標準 TV より優れた性能を示し、TGV の性能に近づく。

ABSTRACT

We study a general class of infimal convolution type regularisation functionals suitable for applications in image processing. These functionals incorporate a combination of the total variation ($\mathrm{TV}$) seminorm and $\mathrm{L}^{p}$ norms. A unified well-posedness analysis is presented and a detailed study of the one dimensional model is performed, by computing exact solutions for the corresponding denoising problem and the case $p=2$. Furthermore, the dependency of the regularisation properties of this infimal convolution approach to the choice of $p$ is studied. It turns out that in the case $p=2$ this regulariser is equivalent to Huber-type variant of total variation regularisation. We provide numerical examples for image decomposition as well as for image denoising. We show that our model is capable of eliminating the staircasing effect, a well-known disadvantage of total variation regularisation. Moreover as $p$ increases we obtain almost piecewise affine reconstructions, leading also to a better preservation of hat-like structures.

研究の動機と目的

• 全 variation と L^p ノルムを組み合わせた一般化された無限小畳み込み正則化フレームワークを構築し、画像復元を改善すること。
• 標準 TV に内在する階段状効果を解消するために、柔軟な L^p ペナルティを導入すること。
• 特にエッジおよび構造の保持に関連して、さまざまな p 値における TVL^p 機能の正則化特性を分析すること。
• 理論的 well-posedness の確立と、ノイズ除去問題における 1 次元での正確な解の導出。
• p を増加させることで、分(piecewise) affine およびスパイク様構造の再構成が改善されることを数値的に示すこと。

提案手法

• 提案された関数は、TVL^p_α,β(u) = inf_{w∈L^p(Ω)} α‖Du - w‖_ℳ + β‖w‖_L^p(Ω) として定義され、‖·‖_ℳ は Radon ノルムである。
• infimal convolution を用いて一次元全 variation と L^p 正則化をバランスさせ、p を用いた滑らかさの制御を可能にする。
• p=2 の場合の 1D ノイズ除去問題について、解析的に正確な解を導出しており、Huber-TV 正則化と等価であることが判明している。
• 数値実験では、2D での画像ノイズ除去および分解のための最小化問題を解くために split Bregman アルゴリズムを用いる。
• Bregman 反復を適用してコントラストを向上させ、さらに階段状効果を低減し、TGV^2 の性能に近づける。
• モデルを用いて解を分(piecewise) 定数成分と滑らか成分に分解することで、画像分解を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TV–L^p 無限小畳み込み関数における p の選択が、画像ノイズ除去における正則化特性および再構成品質にどのように影響するか？
• RQ2 提案された TVL^p 関数は、標準 TV よりも階段状効果をより効果的に除去できるか？
• RQ3 p=2 の TVL^p モデルは、広く知られた Huber-TV 正則化子と等価であるか？また、この場合の正確な 1D 解を導出できるか？
• RQ4 p を増加させることで、再構成画像の構造、特に鋭いスパイクおよびアフィン領域の保持にどのような影響を与えるか？
• RQ5 Bregman 反復により、TVL^p 再構成の品質がさらに向上し、TGV^2 の性能に一致または近づくことができるか？

主な発見

• p=2 の場合、TVL^p 関数は数学的に Huber-TV 正則化子と等価であり、ノイズ除去問題に対して正確な 1D 解が導出された。
• モデルは画像ノイズ除去において階段状効果を効果的に除去しており、特に p の値が大きい場合に顕著である。
• p が増加するにつれて、再構成は分(piecewise) 定数から分(piecewise) 線形へと移行し、ハット型およびスパイク型構造の保持が向上する。
• 数値結果から、Bregman 反復により再構成品質が顕著に向上し、SSIM 値が TGV^2 と同等の水準に達することが示された（例：TVL^2 に Bregman 反復を適用した場合、SSIM=0.9433）。
• 高 p 値を用いた TVL^p モデルは、合成画像における中央スパイクなどの鋭い特徴を TGV^2 よりも優れて保持しており、表面プロットおよびプロファイル比較により実証された。
• 関数 (5.1) は、分(piecewise) 定数成分と滑らか成分への有効な幾何的分解を可能にし、図 19 における視覚的および定量的検証がなされた。