[論文レビュー] Infinite computable version of Lovasz Local Lemma

Andrey Rumyantsev|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、モーザー＝タロスのアルゴリズムを無限で有効に提示された確率的システムに適応させることで、無限のロヴァーシュ・ローカル・レーム（LLL）の計算可能版を確立する。わずかに強化された条件（境界を $1 - \varepsilon$ 倍すること）の下で、すべての禁止事象を避ける計算可能割り当てが存在することを証明し、有効な依存関係を持つ無限設定への構成的LLLの拡張を実現する。

ABSTRACT

Lovász Local Lemma (LLL) is a probabilistic tool that allows us to prove the existence of combinatorial objects in the cases when standard probabilistic argument does not work (there are many partly independent conditions). LLL can be also used to prove the consistency of an infinite set of conditions, using standard compactness argument (if an infinite set of conditions is inconsistent, then some finite part of it is inconsistent, too, which contradicts LLL). In this way we show that objects satisfying all the conditions do exist (though the probability of this event equals~$0$). However, if we are interested in finding a computable solution that satisfies all the constraints, compactness arguments do not work anymore. Moser and Tardos recently gave a nice constructive proof of LLL. Lance Fortnow asked whether one can apply Moser--Tardos technique to prove the existence of a computable solution. We show that this is indeed possible (under almost the same conditions as used in the non-constructive version).

研究の動機と目的

• 標準のコンパクト性による議論が失敗する無限系に、構成的モーザー＝タロスアルゴリズムを拡張すること。
• 有限で有効に提示された依存関係を持つ無限個の制約の族に対して、計算可能解が存在する条件を確立すること。
• コンパクト性による非構成的存在証明と、無限組合せ的系における効果的かつアルゴリズム的に実現可能な解との間のギャップを埋めること。
• 無限制約充足問題（例：無限CNF論理式や系列におけるパターン回避）において、計算可能解を構成するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 各事象に含まれる変数の最大インデックスに基づく計算可能順序付けを導入することで、モーザー＝タロスの再サンプリングアルゴリズムを無限系に適応する。
• 変数 $P_0, \dots, P_n$ に依存するすべての事象が有限な接頭部を形成するように事象を順序付け、有限段階のシミュレーションを可能にする。
• 各事象の再サンプリング回数の期待値が $x(A)/(1 - x(A))$ で有界であることに着目し、有限段階での確率1収束を保証する。
• 確率1で、$P_0, \dots, P_n$ に依存するすべての制約が最終的に満たされることを証明し、極限構成を可能にする。
• 無限CNF論理式に応用する際には、サイズ $k$ の節に対して $x(A) = 2^{-\beta k}$ を設定し、スパarsity条件の下で収束を保証する。
• 各節から小さな割合の変数を削除することで、変数ごとの節の出現回数が無限である一般の場合を、出現回数が有限である場合に還元し、スパarsity条件を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト性に基づく存在証明が失敗する無限系において、モーザー＝タロスアルゴリズムを適応して解を構成的に見つけられるか？
• RQ2 有限で依存する変数集合を持つ無限個の制約族に対して、有効な条件下で計算可能解が存在する条件は何か？
• RQ3 古典的LLL条件を一様な $1 - \varepsilon$ 要因で強化することで、解の計算可能性を保証することは可能か？
• RQ4 変数に依存する節の頻度を持つ無限CNF論理式に対しても、構成的LLLを適用可能か？
• RQ5 この方法は2次元配置や他の多次元制約系に拡張可能か？

主な発見

• ある有理数 $\varepsilon > 0$ と計算可能関数 $x: \mathcal{A} \to (0,1)$ に対して、$\Pr[A] \leq (1 - \varepsilon)x(A) \prod_{E \in \Gamma(A)} (1 - x(E))$ を満たすとき、すべての禁止事象を避ける計算可能割り当てが存在する。
• モーザー＝タロスアルゴリズムは、最大変数インデックスに基づく順序付けを施すと、無限系において確率1で満たされる割り当てに収束する。
• 各変数に対してサイズ $n$ の節が高々 $2^{\alpha n}$ 個ある無限CNF論理式に対しては、$\alpha < 1$ かつ節サイズが十分に大きい場合、計算可能満たし割り当てが存在する。
• この結果は2次元配置へ拡張可能である：面積 $n$ の長方形パターンが高々 $2^{\alpha n}$ 個ある決定可能集合に対して、大きなパターンを避ける計算可能な2次元配置が存在する。
• 各節から小さな割合の変数を削除することで、変数ごとの節の出現回数が無限である一般の場合を、出現回数が有限である場合に還元でき、スパarsity条件を維持する。
• この枠組みにより、長さ $n$ の文字列が高々 $2^{\alpha n}$ 個ある決定可能集合 $F$ からのすべての部分文字列を避ける計算可能な無限系列の存在が構成的証明可能である。