[論文レビュー] Infinite Dimensional Ito Algebras of Quantum White Noise

V. P. Belavkin|ArXiv.org|Dec 13, 2005

Quantum Information and Cryptography参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子確率的積分の文脈において、無限次元のイト代数の一般化された公理的枠組みを導入し、擬ユークリッド的表現を通じて量子ホワイトノイズを特徴づける。任意のイト代数が、量子ウィーナー（ブラウン運動）的および量子レヴィ（ポアソン）的成分に一意に直交分解可能であることを証明し、古典的なレヴィ＝カチンの定理を非可換な設定に一般化する。

ABSTRACT

A simple axiomatic characterization of the general (infinite dimensional, noncommutative) Ito algebra is given and a pseudo-Euclidean fundamental representation for such algebra is described. The notion of Ito B*-algebra, generalizing the C*-algebra is defined to include the Banach infinite dimensional Ito algebras of quantum Brownian and quantum Levy motion, and the B*-algebras of vacuum and thermal quantum noise are characterized. It is proved that every Ito algebra is canonically decomposed into the orthogonal sum of quantum Brownian (Wiener) algebra and quantum Levy (Poisson) algebra. In particular, every quantum thermal noise is the orthogonal sum of a quantum Wiener noise and a quantum Poisson noise as it is stated by the Levy-Khinchin theorem in the classical case.

研究の動機と目的

• 無限次元的かつ非可換なイット代数が量子確率的過程を支配する枠組みを公理的に特徴づけること。
• イットB*-代数の定義と構造の解明を行い、C*-代数を量子ブラウン運動およびレヴィ運動を含む形に一般化すること。
• 任意のイット代数が、量子ウィーナー代数および量子レヴィ代数に一意に直交分解可能であることを確立すること。
• Fock空間における作用素表現を通じて、古典的なレヴィ＝カチン分解を非可換な量子確率的過程へ一般化すること。

提案手法

• 無限小増分の冪零的かつ可換な乗法法則を用いたイット代数の公理的定義。$ d_t^2 = 0 $、$ d_w^2 = dt $、$ d_m^2 = d_m + dt $ を含む。
• バナッハ空間およびヒルベルト空間における量子ノイズ過程の表現を含む、イットB*-代数構造の導入。
• 抽象的無限小量のための$ 2\times2 $冪零行列を用いた擬ユークリッド的基本表現の構成。
• 群の畳み込みを用いた量子増分の乗法表の一般化：$ d_g \cdot d_h^* = \lambda_{gh^{-1}} dt + d_{gh^{-1}} $、ここで$ \lambda $ は正定値かつ自己逆関数。
• 局所コンパクト群$ G $のユニタリ表現に関連する消滅、生成、交換作用素を用いたFock空間における作用素値測度によるイット代数の実現。
• 可測なトレースクラス作用素の族$ \rho_\omega $を用いたスペクトル分解$ \lambda_g = \int_\Omega \mathrm{Tr}[\rho_\omega U_g(\omega)] d\pi_\omega $により、Fock空間表現を定義。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元のイット微積分を超えて、無限次元の量子確率的過程を統一的に記述する代数的枠組みを構築可能か？
• RQ2 非可換的かつ無限次元的な代数の観点から、量子ホワイトノイズを公理的に特徴づける方法は何か？
• RQ3 古典的なレヴィ＝カチン分解に類似した、独立なウィーナー成分とポアソン成分への一意的分解が、量子ノイズに対して存在するか？
• RQ4 群表現および正定値関数は、一般化された量子レヴィ過程を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 このようなイット代数は、作用素値測度およびスペクトル理論を用いてFock空間にどのように表現可能か？

主な発見

• 任意のイット代数は、一意に量子ウィーナー（ブラウン運動的）代数と量子レヴィ（ポアソン的）代数に直交分解可能であり、古典的なレヴィ＝カチンの定理を一般化する。
• 量子熱雑音は、一意に量子ウィーナー雑音と量子ポアソン雑音の直交和として分解可能であり、古典的分解の非可換版を確認する。
• イットB*-代数構造は、離散的で局所コンパクトな群$ G $の群代数上に定義され、ノルム$ \|\zeta\|_- = \left(\sum (\bar{\zeta} * \tilde{\zeta})_g^2 \lambda_g \right)^{1/2} $により、完備性および対合演算の下での閉包性を保証する。
• 抽象的無限小量の非自明な実現を提供する$ 2\times2 $冪零行列を用いた基本的擬ユークリッド的表現が構成された。これは標準的なヒルベルト空間表現を持たない。
• Fock空間における作用素表現は、前方微分$ \Lambda(t,a) = \alpha t I + \sum \zeta^g \hat{m}_g(t) $により定義され、ここで$ \hat{m}_g(t) $ は、スペクトルデータ$ \rho_\omega $ を持つ消滅、生成、交換測度を含む。
• 乗法則$ d_g \cdot d_h^* = \lambda_{gh^{-1}} dt + d_{gh^{-1}} $ は、非アーベル群$ G $に対しても結合的かつ非可換である。$ \lambda_k = \delta_k^1 $ であっても、非自明な量子的構造を示す。