[論文レビュー] Infinite dimensional oscillatory integrals with polynomial phase and applications to high order heat-type equations

Sonia Mazzucchi|arXiv (Cornell University)|May 18, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の次数の多項式位相関数へ無限次元フレネル積分を一般化し、高次熱型方程式の解に対する関数積分表現を可能にする。高次偏微分方程式の解が多項式位相関数を有する無限次元振動積分として表現可能であることが示され、2次以下の放物型方程式に限る古典的フェインマン＝カックの公式の範囲を超える拡張が達成される。

ABSTRACT

The definition of infinite dimensional Fresnel integrals is generalized to the case of polynomial phase functions of any degree and applied to the construction of a functional integral representation of the solution of a general class of high order heat-type equations.

研究の動機と目的

• 任意の次数の多項式位相関数へ無限次元フレネル積分の理論を拡張すること。
• バイラプラシアンを含むような高次熱型方程式の解に対して関数積分表現を提供すること。
• 正の遷移密度が存在しないために2次以降の作用素に対しては失敗する古典的フェインマン＝カックの公式の制限を克服すること。
• 位相関数が次数 p ≥ 2 の多項式である無限次元における振動積分の厳密な数学的枠組みを構築すること。
• 高次偏微分方程式のダイソン級数解と多項式位相関数を有する無限次元振動積分との間の関係を確立すること。

提案手法

• 位相関数 Φ_p(γ) = (−1)^p α ∫₀^t ẟγ(s)^p ds を用いて、任意の次数 p の多項式位相関数を含む無限次元フレネル積分の概念を一般化する。
• 高次偏微分方程式の解を、cylinder関数 f_{t,x}(η) = u₀(x + η(0)) exp(∫₀^t V(x + η(s)) ds) の無限次元振動積分 I_{Φ_p}(f_{t,x}) として定義する。
• 指数関数的項 ∫₀^t V(x + η(s)) ds をバナッハ空間 B_p 上の複素測度 μ_V のフーリエ変換として表現する。μ_V は時間積分された特性関数を用いて構成される。
• 被積分関数全体を測度の畳み込み ν_{u₀} * μ_V^{*n} として表現する。ここで ν_{u₀} および μ_V は B_p 上の有限ボレル測度のフーリエ変換である。
• 全変動ノルムにおける級数 ∑_{n=0}^∞ (1/n!) μ_V^{*n} の収束を用いて、無限次元積分の存在を保証する。
• 補題3を適用し、cylinder関数 η ↦ u₀(x + η(0)) が有限測度のフーリエ変換の空間に属することを示し、可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元振動積分は、2次関数に限らず、任意の次数 p ≥ 2 の多項式位相関数へ一般化可能か？
• RQ2 このような一般化された積分により、例えば ∂ₜu = −Δ²u − Vu のような高次熱型偏微分方程式の解に対する関数積分表現が可能か？
• RQ3 高次偏微分方程式の解は、多項式位相関数を有する振動積分の意味で、有限次元近似の極限として表現可能か？
• RQ4 高次偏微分方程式のダイソン級数解は、多項式位相関数を有する無限次元振動積分から回復可能か？
• RQ5 通常のルベーグ積分が失敗する際、経路空間において無限の全 Variation を持つ複素測度または符号付き測度を用いることで、一貫性のある関数積分形式が可能か？

主な発見

• 次数 p ≥ 2 の高次熱型方程式 ∂ₜu = −Δ^p u − Vu の解は、多項式位相関数 Φ_p(γ) = (−1)^p α ∫₀^t ẟγ(s)^p ds を有する無限次元振動積分として表現可能である。
• 関数 f_{t,x}(η) = u₀(x + η(0)) exp(∫₀^t V(x + η(s)) ds) は、B_q 上の有限ボレル測度のフーリエ変換の空間に属し、可積分性が保証される。
• 無限次元フレネル積分 I_{Φ_p}(f_{t,x}) は全変動ノルムにおいて収束し、解のダイソン級数展開に一致する。
• 級数表現 ∑_{n=0}^∞ ∫_{0≤s₁≤⋯≤sₙ≤t} ∫_{ℝ^{n+1}} u₀(x+x₀)V(x+x₁)⋯V(x+xₙ) G_{s₁}(x₁,x₀)⋯G_{t−sₙ}(0,xₙ) dx₀⋯dxₙ ds₁⋯dsₙ は、偏微分方程式の解と一致する。
• ポテンシャル V に付随する測度 μ_V は、時間積分された特性関数を用いて構成され、||μ_V||_M ≤ t||ν||_M を満たし、有界性が保証される。
• 畳み込み測度 ν_{u₀} * μ_V^{*n} は適切に定義され、全変動ノルムにおいて収束する。||ν_{u₀} * μ_V^{*n}|| ≤ e^{t||ν||_M} が成り立ち、全級数の収束が保証される。