[論文レビュー] Infinite-Dimensional Quadrature and Quantization

Steffen Dereich, Thomas Mueller-Gronbach+1 more|ArXiv.org|Jan 11, 2006

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、無限次元バナッハ空間上のリプシッツ汎関数の数値積分に対して、決定的および確率的アルゴリズムを用いた場合の最悪誤差について、きつい上限と下限を確立する。誤差性能は関数的量子化とコルモゴロフ幅に結びつけられる。拡散過程およびガウス測度に対して、確率的化が収束速度を著しく改善することを示し、対数要因を除いてほぼ最適な誤差境界を達成する。

ABSTRACT

We study numerical integration of Lipschitz functionals on a Banach space by means of deterministic and randomized (Monte Carlo) algorithms. This quadrature problem is shown to be closely related to the problem of quantization of the underlying probability measure. In addition to the general setting we analyze in particular integration w.r.t. Gaussian measures and distributions of diffusion processes. We derive lower bounds for the worst case error of every algorithm in terms of its computational cost, and we present matching upper bounds, up to logarithms, and corresponding almost optimal algorithms. As auxiliary results we determine the asymptotic behaviour of quantization numbers and Kolmogorov widths for diffusion processes.

研究の動機と目的

• 無限次元バナッハ空間上のリプシッツ汎関数の数値積分の計算複雑性を分析すること。
• 決定的および確率的アルゴリズムの最悪誤差に対する鋭い下限と上限を確立すること。
• 四則積分の性能を、基礎となる確率測度の関数的量子化およびコルモゴロフ幅に関連付けること。
• ガウス測度および拡散過程に対するほぼ最適なアルゴリズムを導出すること。
• 拡散過程における量子化数およびコルモゴロフ幅の漸近的挙動を特定すること。

提案手法

• 関数値へのオракルアクセスを許可する実数モデルを用い、コストは部分空間の次元で測定する。
• 計算コスト $N$ の観点から、決定的および確率的アルゴリズムの最小誤差を最悪ケース解析によって制限する。
• 効率的な確率的アルゴリズムの構築に、確率測度 $\mu$ の関数的量子化に依存する。
• モンテカルロ積分における期待誤差を制御するために、平均線形幅および近似スキーム $\widehat{X}^{(k)}$ を用いる。
• ガウス測度に対しては、小球関数 $\varphi(\varepsilon) \asymp \varepsilon^{-\alpha} (\ln \varepsilon^{-1})^\beta$ を含む不等式を用いて誤差境界を導出する。
• 弱いオイラースキームと有限次元部分空間からのサンプリングに基づく確率的アルゴリズムを構築し、コスト $\preceq N$ を満たすように $n$ と $k$ を最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元四則積分問題において、決定的および確率的アルゴリズムの最適収束速度は何か？
• RQ2 拡散過程およびガウス測度の文脈において、確率的アルゴリズムの性能は決定的アルゴリズムと比べてどうなるか？
• RQ3 四則積分誤差と基礎となる測度の量子化数またはコルモゴロフ幅との関係は何か？
• RQ4 小球確率の漸近的挙動および近似誤差が収束速度に与える影響は何か？
• RQ5 ガウス測度および拡散過程に対するほぼ最適なアルゴリズムを構築できるか？

主な発見

• 拡散過程に対しては、決定的アルゴリズムの最悪誤差が $\varepsilon_N^{\mathrm{det}} \succeq (\ln N)^{-1/2}$ を満たし、計算の非効率性（非多項式的）を示す。
• 拡散過程における確率的アルゴリズムでは、$N^{-1/4} \cdot (\ln N)^{-3/4} \preceq \varepsilon_N^{\mathrm{ran}} \preceq N^{-1/4} \cdot (\ln N)^{1/4}$ が成り立ち、上界は弱いオイラースキームによって達成される。
• 小球関数 $\varphi(\varepsilon) \asymp \varepsilon^{-\alpha} (\ln \varepsilon^{-1})^\beta$ を持つガウス測度に対しては、B-凸性のもとで、確率的誤差は $\varepsilon_N^{\mathrm{ran}} \preceq N^{-1/(2+\alpha)} \cdot (\ln N)^{\beta/(2+\alpha)}$ を満たし、一般には $\preceq N^{-1/(2+\alpha)} \cdot (\ln N)^{-(2+2\alpha-\alpha\beta)/(\alpha(2+\alpha))}$ に改善される。
• 構築された確率的アルゴリズム $\widehat{S}_N$ は、コスト $\preceq N$ を満たし、誤差 $e(\widehat{S}_N) \preceq N^{-1/(2+\alpha)} \cdot (\ln N)^{\beta/(2+\alpha)}$ を達成する。
• $C([0,1])$ 上の分数 Browm運動に対しては $\alpha = 1/H$ であり、$d$ 次元のシートに対して誤差率は $N^{-1/(2+1/H)} \cdot (\ln N)^{H(d-1)+d/2}$ となる。
• このアルゴリズムはほぼ最適であり、無限に多くの $N$ に対して $e(\widehat{S}_N) \leq c \cdot \varepsilon_N^{\mathrm{ran}} \cdot (\ln N)^{1+2/(\alpha(2+\alpha))} \cdot (\ln\ln N)^{-2\beta/(\alpha(2+\alpha))}$ が成り立つ。