[論文レビュー] Infinitely many solutions for semilinear nonlocal elliptic equations under noncompact settings

Woocheol Choi, Jinmyoung Seok|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、分数階ソボレフ空間におけるコンpact性の喪失を丁寧に分析し、臨界非線形性を有する有界領域上の分数階ブレジス＝ニレングェン問題に対して無限個の非自明解の存在を確立している。主な結果は、$ N > 6s $ のとき、方程式 $ (- i)^s u = |u|^{rac{2N}{N-2s}-2}u + \mu u $ in $ \Omega $, $ u = 0 $ on $ \partial\Omega $ が $ \mu > 0 $ のとき無限個の解を持つことである。

ABSTRACT

In this paper, we study a class of semilinear nonlocal elliptic equations posed on settings without compact Sobolev embedding. More precisely, we prove the existence of infinitely many solutions to the fractional Brezis-Nirenberg problems on bounded domain.

研究の動機と目的

• 臨界指数問題における標準的変分法の障害となる、分数階ソボレフ空間におけるコンパクトでない埋め込みの欠如に対処すること。
• 古典的ブレジス＝ニレングェン問題における無限個の解が存在するというデヴィラーヴァとソリミーニの結果を、非局所的分数階ラプラシアン設定に拡張すること。
• 臨界非線形性と非コンパクト埋め込みのため、パライス＝スメイ条件が成立しない問題を克服すること。
• 分数階ブレジス＝ニレングェン問題に臨界成長を伴う非自明解が無限個存在することを、$ N > 6s $ および $ \mu > 0 $ の下で確立すること。

提案手法

• 臨界問題 (1.2) を、非線形性が $ |u|^{\frac{2N}{N-2s}-2-\varepsilon}u + \mu u $ である亜臨界問題族 (1.4) に $ \varepsilon > 0 $ で近似する。
• 亜臨界問題に標準的変分法を適用し、分数階ソボレフ空間 $ H^s_0(\Omega) $ 内で無限個の非自明な弱解を得る。
• 亜臨界問題の解に対する一様推定式を用いて、弱コンパクト性により弱極限を抽出する。
• 移動平面法と正則性理論を用いて、弱極限が古典的解であることを示す。
• ポホジャエフ恒等式と重み付きソボレフ不等式を用いて、拡張問題設定における解の成長と減衰を制御する。
• カファレッリ＝シルベストレ拡張を用いて、分数階ラプラシアンを $ \mathbb{R}^{N+1}_+ $ 内の退化楕円型問題に関連づけ、重み付きソボレフおよびトレース不等式の利用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトでないソボレフ埋め込みが成立しない状況において、臨界非線形性を有する分数階ブレジス＝ニレングェン問題に対して、無限個の解の存在を確立できるか？
• RQ2 古典的状況で成功した亜臨界近似法は、非局所的分数階設定へと拡張可能か？
• RQ3 分数階状況における無限個の解の存在に必要な次元条件 $ N > 6s $ の鋭さは何か？
• RQ4 空間 $ H^s_0(\Omega) \hookrightarrow L^{2N/(N-2s)}(\Omega) $ におけるコンパクト性の喪失が、変分的構造および解の多重性に与える影響は何か？
• RQ5 ポホジャエフ恒等式と重み付きソボレフ不等式は、分数階ラプラシアンの拡張問題フレームワークにおいて解を制御するために適応可能か？

主な発見

• $ N > 6s $ および $ \mu > 0 $ のとき、分数階ブレジス＝ニレングェン問題は無限個の非自明解を持つ。これは、デヴィラーヴァとソリミーニの古典的結果を非局所的設定に拡張したものである。
• 任意の十分小さい $ \varepsilon > 0 $ に対して、亜臨界問題 (1.4) は $ H^s_0(\Omega) $ 内で無限個の非自明解を持つ。これは亜臨界成長と標準的変分技法のおかげである。
• 亜臨界問題の解の $ H^s_0(\Omega) $-ノルムに対する一様有界性が確立され、弱コンパクト性により弱極限の抽出が可能となる。
• 亜臨界解の弱極限は、濃縮・コンパクト性法と非線形性の詳細な分析のおかげで、元の臨界問題 (1.2) の非自明な弱解である。
• 証明はカファレッリ＝シルベストレ拡張と、重み付きソボレフおよびトレース不等式の使用に依存しており、拡張空間における解の挙動を制御する。
• $ N > 6s $ の条件は鋭く、これは正則性解析におけるモーザー反復スキームの反復議論に必要な可積分性とコンパクト性を保証する。