[論文レビュー] Inflationary Cosmology, Diffeomorphism Group of the Line and Virasoro Coadjoint Orbits

James E. Lidsey|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、インフレーション宇宙論と直線上の微分同相群の共伴作用の間の動的同型を確立し、スカラー場の運動エネルギーを時間再パarametrization のシュワルツ微分に一致させている。インフレーション解は ${\rm Diff}^{+}(\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$ 上の軌道上の点として現れ、バーラソロ共伴軌道構造がシンプレクティック枠組みを提供し、ハミルトニアン生成子がスカラー場の運動エネルギーに対応することで、宇宙論と conformal field theory および重力双対性を結びつける。

ABSTRACT

The cosmological field equations sourced by a self-interacting scalar field are dynamically equivalent to a closed system of equations obtained by applying the moment method to non-linear Schrödinger equations possessing an underlying non-relativistic conformal $SL(2,\mathbb{R})$ symmetry. We consider the one-dimensional, quintic Schrödinger equation relevant to strongly repulsive, dilute Bose gases. The action of the diffeomorphism group on the space of Schrödinger operators generates an harmonic trapping potential that can be identified with the kinetic energy of the cosmological scalar field. Inflationary cosmologies are represented by points on the orbit of the de Sitter solution, which is the quotient manifold ${ m Diff}(\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$. Key roles are played by the Schwarzian derivative of the diffeomorphism and the Ermakov-Pinney equation. The underlying $SL(2,\mathbb{R})$ symmetry results in a first integral constraint which ensures energy-momentum conservation. When the analysis is restricted to the universal cover group of diffeomorphisms on the circle, the generation of a rolling scalar field can be understood in terms of the Virasoro coadjoint action. The corresponding symplectic two-form and Hamiltonian generator of the coadjoint orbit are determined by the scalar field kinetic energy.

研究の動機と目的

• インフレーション宇宙論と群 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})$ がシュレーディンガー作用素に作用する現象との間の動的同型を確立すること。
• 宇宙論におけるスカラー場の運動エネルギーが時間再パラメータ化のシュワルツ微分に対応することを示すこと。
• インフレーション解が $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$ 上の共伴軌道の点として現れ、デ de Sitter 解が基点となることの証明。
• 円周上の微分同相群の普遍被覆に制限した場合に、得られる宇宙論的力学がバーラソロ共伴作用と結びつくことの確立。
• 軌道のシンプレクティック構造とハミルトニアン生成子をスカラー場の運動エネルギーの観点から解釈し、2次元 CFT および重力双対性と結びつけること。

提案手法

• 1次元の五次非線形シュレーディンガー方程式に $SL(2,\mathbb{R})$ の conformal 構造を適用したモーメント法を用いた分析。
• $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})$ の微分同相群がシュレーディンガー作用素に作用し、スカラー場の運動エネルギーに一致する調和的捕獲ポテンシャルを生成する。
• 微分同相群のシュワルツ微分がスカラー場の運動エネルギーに一致し、共伴軌道のシンプレクティック生成子として機能する。
• 系の力学は、$SL(2,\mathbb{R})$-不変なモーメント方程式から導かれるエルマコフ・ピネイ方程式によって支配される。
• 群 $\mathrm{Diff}^{+}(S^{1})$ の普遍被覆に制限した場合、作用はバーラソロ共伴作用に一致し、非自明な中心的荷重がスカラー場のローリング解を可能にする。
• 軌道上のシンプレクティック2形式とハミルトニアン生成子を明示的に計算し、後者は $\int d\tau (d\phi/d\tau)^2$ に比例する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インフレーション宇宙論は、微分同相群 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})$ がシュレーディンガー作用素に作用する軌道としてどのように記述できるか？
• RQ2 シュワルツ微分は、微分同相群作用と宇宙論的スカラー場の運動エネルギーをどのように結びつけるか？
• RQ3 $SL(2,\mathbb{R})$ 対称性は、モーメント方程式におけるエネルギー運動量保存をどのように保証するか？
• RQ4 バーラソロ共伴軌道 $\mathcal{O}_{(0,c)}$ は、ローリングスカラー場の力学を記述する上でどのような意味を持つのか？
• RQ5 軌道のシンプレクティック構造は、エネルギー関数 $E = \int d\tau (d\phi/d\tau)^2$ を持つ2次元 CFT として解釈可能か？

主な発見

• インフレーション宇宙論は、基点としてデ de Sitter 解を有する商多様体 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$ 上の点として表現される。
• スカラー場の運動エネルギーは、微分同相群 $\beta$ のシュワルツ微分 $S[\beta](\tau)$ に一致し、シンプレクティック生成子として機能する。
• エルマコフ・ピネイ方程式が波動関数モーメントの力学を支配し、$\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})$ に対してモーメント系の閉じる性質を保証する。
• バーラソロ共伴軌道 $\mathcal{O}_{(0,c)}$ は、ローリングスカラー場のためのシンプレクティック枠組みを提供し、ハミルトニアン生成子 $H_\epsilon \sim \int d\tau (d\phi/d\tau)^2$ を持つ。
• 中心的荷重 $c$ は $c = 3/G$ によりニュートン定数と関係し、CFT のエネルギー関数はスカラー場の運動エネルギー $E = \int d\tau (d\phi/d\tau)^2$ と一致する。
• この構成は、インフレーション宇宙論と低次元重力の間の形式的リンクを示唆しており、特に $\mathrm{BMS}_3/{\rm CFT}_2$ 対応およびSYKモデルのシュワルツ微分作用を通じて。