[論文レビュー] Initial coefficient bounds for a general class of bi-univalent functions

Halit Orhan, N. Magesh+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2013

Analytic and geometric function theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$Δ\mathcal{N}\mathcal{P}^{\mu,\lambda}_{\Sigma}(\beta,h)$ と表記される新しい一般クラスの双正則関数を導入し、劣微分および係数比較技術を用いて初期係数 $|a_2|$ および $|a_3|$ の鋭い上界を確立する。主な貢献は、既存の結果を一般化し、特に $\beta = 0$ の場合に $|a_2|$ および $|a_3|$ の既存の境界を改善する、新しい係数推定フレームワークの構築にある。結果は、シュワーツ関数および $f(z)$ とその逆関数 $f^{-1}(z)$ における劣微分条件を含む複素解析的手法によって導出される。

ABSTRACT

Inspired by the recent works of Srivastava et al. (HMS-AKM-PG), Frasin and Aouf (BAF-MKA) and others (Ali-Ravi-Ma-Mina-class,Caglar-Orhan,Goyal-Goswami,Xu-HMS-AML,Xu-HMS-AMC), we propose to investigate the coefficient estimates for a general class of analytic and bi-univalent functions. Also, we obtain estimates on the coefficients |a2| and |a3| for functions in this new class. Some interesting remarks, corollaries and applications of the results presented here are also discussed.

研究の動機と目的

• 開単位円板内における解析的かつ双正則関数の新しい一般クラスを定義し、その性質を調査すること。
• $n \geq 3$ のテイラー＝マクローリン係数 $|a_n|$ の推定という未解決問題に取り組み、特に $|a_2|$ および $|a_3|$ に焦点を当てる。
• パrameter $\mu$, $\lambda$, $\beta$ および凸正則関数 $h(z)$ を導入することにより、既存の双正則関数の部分クラスを一般化すること。
• 劣微分および係数比較技術を用いて、非鋭い既存の係数推定を改善し、鋭い境界を導出すること。
• 既存の文献における既知の結果を特別な場合として回復・精緻化する統一的フレームワークを提供すること。

提案手法

• パrameter $\mu \geq 0$, $\lambda \geq 1$, $\beta \in (-\pi/2, \pi/2)$ および $h(0) = 1$, $\Re(h(z)) > 0$ を満たす凸関数 $h(z)$ を用いて、$f(z)$ とその逆関数 $f^{-1}(z)$ における劣微分条件によってクラス $\mathcal{N}\mathcal{P}^{\mu,\lambda}_{\Sigma}(\beta,h)$ を定義する。
• $a_2, a_3, a_4$ を用いた既知の係数展開を用いて、$f^{-1}(w)$ を $w^4$ までべき級数として表現する。
• 劣微分理論を適用し、$f(z)$ および $f^{-1}(w)$ の式が $h(z)\cos\beta + i\sin\beta$ に劣微分されることを仮定し、係数比較を行う。
• シュワーツの補題および劣微分関数の係数境界を用い、$m=1,2$ に対して $|p_m| \leq |B_1|$ および $|q_m| \leq |B_1|$ が成り立つことを適用する。ここで $B_1$ は $h(z)$ のテイラー展開の最初の係数である。
• 式 (2.7) から (2.10) までの明示的な方程式を導出し、$a_2$, $a_3$ を劣微分関数 $h(z)$ の係数 $p_1, p_2, q_1, q_2$ と関係づける。対称性および三角不等式を用いて $|a_2|$ および $|a_3|$ を解く。
• $h(z) = \frac{1+Az}{1+Bz}$ の場合に $|B_1| = A - B$ および $h(z) = \frac{1 + (1 - 2\alpha)z}{1 - z}$ の場合に $|B_1| = 2(1 - \alpha)$ を適用し、具体的な定量的推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸関数 $h(z)$ に劣微分される新しい一般クラスの双正則関数において、初期係数 $|a_2|$ および $|a_3|$ の鋭い上界は何か？
• RQ2 パrameter $\mu$, $\lambda$, $\beta$ および $h(z)$ の選択が、クラス $\mathcal{N}\mathcal{P}^{\mu,\lambda}_{\Sigma}(\beta,h)$ における係数推定にどのように影響を与えるか？
• RQ3 提案されたクラスは、[5]、[6]、[10]、[14] における既存の研究から得られた係数推定を回復し、改善できるか？
• RQ4 パrameter $\beta$ は、特に $\beta = 0$ の場合に係数境界をどのように精緻化するか？
• RQ5 導出された境界は、特に $|a_3|$ に関して、文献における既存の非鋭い推定と比較してどうなるか？

主な発見

• 本稿では、クラス $\mathcal{N}\mathcal{P}^{\mu,\lambda}_{\Sigma}(\beta,h)$ に対して鋭い境界 $|a_2| \leq \sqrt{\frac{2|B_1|\cos\beta}{(1+\mu)(2\lambda+\mu)}}$ を確立し、ここで $|B_1|$ は $h(z)$ のテイラー展開の最初の係数である。
• $h(z) = \frac{1+Az}{1+Bz}$ の部分クラスでは、境界は $|a_2| \leq \sqrt{\frac{2(A-B)\cos\beta}{(1+\mu)(2\lambda+\mu)}}$ に簡略化され、以前の推定を改善する。
• $|a_3|$ の境界は $|a_3| \leq \frac{2|B_1|\cos\beta}{(2\lambda+\mu)(1+\mu)}$ として導出され、以前の非鋭い推定よりも鋭いものである。
• $h(z) = \frac{1 + (1 - 2\alpha)z}{1 - z}$ の場合、境界は $|a_2| \leq \sqrt{\frac{4(1-\alpha)\cos\beta}{(1+\mu)(2\lambda+\mu)}}$ および $|a_3| \leq \frac{4(1-\alpha)\cos\beta}{(2\lambda+\mu)(1+\mu)}$ に変化し、既知の結果を精緻化する。
• $\mu = 0$, $\lambda = 1$, $\beta = 0$ の特別な場合に、$|a_2| \leq \sqrt{2(1-\alpha)}$ は既知の結果と一致するが、$|a_3| \leq 2(1-\alpha)$ は以前の推定を改善する。
• $\mu = 1$, $\lambda = 1$, $\beta = 0$ の場合、$|a_3| \leq \frac{2(1-\alpha)}{3}$ は [14, 定理 2] における推定を改善し、現在のフレームワークの前進を示している。