[論文レビュー] Instability and non-uniqueness in the Cauchy problem for the Euler equations of an ideal incompressible fluid. Part II

Misha Vishik|arXiv (Cornell University)|May 23, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 12被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、2次元における径対称で非圧縮性のオイラー流れのクラスについて、第I部を基盤として、初期値問題における非一意性を示す線形不安定性を確立する。重み付きソボレフ空間におけるスペクトル解析とエネルギー推定を用いて、小さな摂動が指数関数的に増大することを証明し、滑らかな初期データが複数の弱解を生じうることを示し、2次元非圧縮性オイラー方程式の解の一意性に疑問を呈する。

ABSTRACT

In Part II of the paper, we prove linear instability of a certain class of radially symmetric flows of an ideal incompressible fluid in dimension two used in Part I

研究の動機と目的

• 2次元における径対称で非圧縮性のオイラー流れのクラスについて、線形不安定性を確立すること。
• 第I部の結果を拡張し、線形化オイラー作用素のスペクトル的性質を厳密に分析すること。
• 時間とともに摂動が指数関数的に増大することを示し、初期値問題における非一意性を示すこと。
• 重み付きソボレフ空間を用いた関数解析的枠組みを提供し、理想非圧縮性流体における不安定性を研究すること。
• 2次元オイラー方程式の弱解における非一意性の理解に貢献すること。

提案手法

• 径対称な基本流れのまわりで2次元非圧縮性オイラー方程式を線形化すること。
• 重み付きL2およびソボレフノルムを用いて線形化作用素のスペクトルを分析すること。
• 摂動の増大を制御するため、重み付きソボレフ空間におけるエネルギー推定を用いること。
• エネルギーが任意に小さい初期データの列を明示的に構成し、その結果としてエネルギーの非有界増大を生じさせること。
• スペクトル理論を用いて不安定モードを同定し、摂動の指数関数的増大を証明すること。
• 不安定性が線形的であることを確立し、滑らかな初期データからでも非一意性が生じうることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 径対称な2次元非圧縮性オイラー流れのクラスについて、線形不安定性を厳密に確立できるか？
• RQ2 このような流れのまわりの線形化作用素は、指数関数的増大を引き起こす不安定固有モードを示すか？
• RQ3 初期摂動が小さくても、線形化系においてエネルギーが非有界に増大するか？
• RQ4 重み付きソボレフ空間は不安定性のメカニズムをどのように捉えているか？
• RQ5 この線形不安定性は、2次元オイラー方程式の初期値問題における解の非一意性にどのように寄与するか？

主な発見

• 指定された径対称な流れのまわりの線形化オイラー作用素は、指数関数的に増大する解をもつ不安定モードを示す。
• 重み付きソボレフ空間における初期摂動が、時間の経過とともにエネルギーが非有界に増大する可能性を示す。
• スペクトル解析とエネルギー推定を用いて不安定性が証明され、線形化系がL2や重み付きソボレフノルムにおいて安定でないことが示された。
• 研究された流れのクラスが線形不安定であることが確認され、第I部の非一意性結果を支持する。
• 本分析は、2次元非圧縮性オイラー方程式における非一意性を研究するための関数解析的枠組みを提供する。
• 本稿は、滑らかな初期データからでも線形不安定性により非一意性が生じうることを確立し、2次元においても成立することを示した。