[論文レビュー] Instanton counting via affine Lie algebras I: Equivariant J-functions of (affine) flag manifolds and Whittaker vectors

Alexander Braverman|ArXiv.org|Jan 29, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 54

ひとこと要約

本稿では、ゲージ理論におけるInstanton数え上げとアフィンリーヒューベルト代数の表現論を統一する生成関数 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ を導入する。$P=G$ のとき、この関数はネクラソフの分配関数に簡約され、$P$ がボレル部分群であるとき、Langlands双対アフィンリーヒューベルト代数 $\check{\mathfrak{g}}_{{\operatorname{aff}}}$ のユニバーサルヴェルマモジュールにおけるホイッターゲンチル係数に等しくなる。この関係により、Instanton数え上げとアフィンToda系、およびフラッグ多様体の量子コホモロジーが結びつけられる。

ABSTRACT

For a semi-simple simply connected algebraic group G we introduce certain parabolic analogues of the Nekrasov partition function (introduced by Nekrasov and studied recently by Nekrasov-Okounkov and Nakajima-Yoshioka for G=SL(n)). These functions count (roughly speaking) principal G-bundles on the projective plane with a trivialization at infinity and with a parabolic structure at the horizontal line. When the above parabolic subgroup is a Borel subgroup we show that the corresponding partition function is basically equal to the Whittaker matrix coefficient in the universal Verma module over certain affine Lie algebra - namely, the one whose root system is dual to that of the affinization of Lie(G). We explain how one can think about this result as the affine analogue of the results of Givental and Kim about Gromov-Witten invariants (more precisely, equivariant J-functions) of flag manifolds. Thus the main result of the paper may considered as the computation of the equivariant J-function of the affine flag manifold associated with G (in particular, we reprove the corresponding results for the usual flag manifolds) via the corresponding "Langlands dual" affine Lie algebra. As the main tool we use the algebro-geometric version of the Uhlenbeck space introduced by Finkelberg, Gaitsgory and the author. The connection of these results with the Seiberg-Witten prepotential will be treated in a subsequent publication.

研究の動機と目的

• Uhlenbeck型コンパクト化されたInstantonモジュライ空間上の等化的J関数を用いて、$G$ の部分群$P \subset G$ に対するネクラソフの分配関数を一般化すること。
• $P$ がボレル部分群であるとき、${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ の漸近的挙動と $\check{\mathfrak{g}}_{{\operatorname{aff}}}$ のヴェルマモジュールにおけるホイッターゲンチル係数との正確な対応関係を確立すること。
• グラフ空間と $\mathbb{C}^*$-等化的積分を用いて、アフィンフラッグ多様体の等化的量子コホモロジーを計算するための新しい代数的幾何的枠組みを提供すること。
• ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ をアフィンToda系に結びつけることで、任意のゲージ群 $G$ に対するセイバーグ＝ワインバーグ前ポテンシャルの予想を証明する基盤を築くこと。

提案手法

• ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ を、$\mathbb{P}^2$ 上のフレーム付き $G$-バンドルに無限遠の水平線での $P$-構造を備えた、Uhlenbeck型コンパクト化されたモジュライ空間上の単位類の等化的積分として定義する。
• 代数幾何学的手法を用いて、$\infty$ での自明化と水平線での $P$ への還元を備えた $\mathbb{P}^2$ 上の $G$-バンドルのモジュライ空間 $\operatorname{Bun}_{G,P}$ を定義する。
• $\mathbb{C}^*$-等化的局在化を用いて、${\mathcal{G}}_{G,P} \times \mathbb{P}^1$ への次数 $\beta$ の安定写像をパラメトライズするグラフ空間 $\operatorname{Graph}^\beta_{G,P}$ 上の積分を計算する。
• グラフ空間上の $\mathbb{C}^*$-作用の固定点が、$\overline{\mathcal{M}}^{\beta_1}_{0,1}(G,P) \times \overline{\mathcal{M}}^{\beta_2}_{0,1}(G,P)$ の積と同型であることに基づき、積分を成分ごとの和に還元する。
• 余接バンドルの計算により、グラフ空間上の積分を、等化的パラメータ $\hbar$ とチャーン類 $c_\beta$ を含む因子を伴ったベースモジュライ空間上の積分に表現する。
• ベースグラフ空間 ${}^\text{b}\operatorname{Graph}^\beta_{G,P}$ からベースQuotスキーム ${}^\text{b}\mathcal{QM}^\beta_{G,P}$ への、$M$-等化的な有理写像を構築し、両者の等化的積分が等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^2$ 上のInstantonモジュライ空間において、$P \subset G$ というパラボリック構造を含むネクラソフの分配関数をどのように一般化できるか？
• RQ2 $P$ がボレル部分群であるとき、${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ の正確な代数的幾何学的解釈は何か？ そして、表現論とどのように関係するか？
• RQ3 グラフ空間技法を用いて、生成関数 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ を用いてアフィンフラッグ多様体の等化的量子コホモロジーを計算できるか？
• RQ4 $\check{\mathfrak{g}}_{{\operatorname{aff}}}$ のユニバーサルヴェルマモジュールにおけるホイッターベクトルは、${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ の漸近的挙動からどのように生じるか？
• RQ5 この枠組みを用いて、任意の $G$ に対してセイバーグ＝ワインバーグ前ポテンシャルの予想を証明できるか？

主な発見

• $P=G$ のとき、生成関数 ${\mathcal{Z}}_{G,G}^{{\operatorname{aff}}}$ はネクラソフの分配関数と一致し、$G=SL(n)$ の場合に既知の結果が回復される。
• $P$ がボレル部分群であるとき、${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$ は、Langlands双対アフィンリーヒューベルト代数 $\check{\mathfrak{g}}_{{\operatorname{aff}}}$ のユニバーサルヴェルマモジュールにおけるホイッターゲンチル係数に等しい。
• ベースグラフ空間 ${}^\text{b}\operatorname{Graph}^\beta_{G,P}$ 上の単位類の積分は、ベースQuotスキーム ${}^\text{b}\mathcal{QM}^\beta_{G,P}$ 上の積分に等しい。これは、適切な有理的 $M$-等化的写像のおかげである。
• ベースグラフ空間 ${}^\text{b}\operatorname{Graph}^\beta_{G,P}$ 上の等化的積分は、$\int_{{}^\text{b}{\overline{\mathcal{M}}}^{\beta}_{0,1}(G,P)} \frac{1}{\hbar(c_\beta + \hbar)}$ として表現され、幾何学と等化的コホモロジーを結びつける。
• この枠組みにより、[13] および [18] の通常のフラッグ多様体に関する量子コホモロジーの結果が、局在化とグラフ空間技法を用いて新たな証明が得られる。
• 本研究の結果は、Instanton数え上げ、アフィンToda系、およびセイバーグ＝ワインバーグ前ポテンシャルの間の橋渡しを実現し、任意の $G$ に対して [23] の主要予想の証明への道筋を示している。