[论文解读] Instanton moduli spaces and $\mathscr W$-algebras

Alexander Braverman, Michael Finkelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用 30

一句话总结

本文建立了框架Uhlenbeck瞬子模空间的等变交截上同调与$\mathscr{W}$-代数表示理论之间的深层对应关系。通过双曲限制函子与稳定胞腔，作者构造了$\mathscr{W}$-代数作用的几何实现，将上同调上的庞加莱配对与Kac-Shapovalov形式识别为$\mathscr{W}$-模中的代数结构，特别是通过Whittaker向量与Heisenberg代数实现。

ABSTRACT

We describe the (equivariant) intersection cohomology of certain moduli spaces ("framed Uhlenbeck spaces") together with some structures on them (such as e.g.\ the Poincaré pairing) in terms of representation theory of some vertex operator algebras ("$\mathscr W$-algebras").

研究动机与目标

• 通过框架Uhlenbeck空间的等变交截上同调，几何化实现$\mathscr{W}$-代数的表示理论。
• 将上同调上的代数结构（如庞加莱配对与Kac-Shapovalov形式）与$\mathscr{W}$-模中的相应结构相联系。
• 建立模空间上双曲限制函子与$\mathscr{W}$-代数中代数运算之间的对应关系。
• 利用层论与上同调工具，几何构造Whittaker向量与$\mathscr{W}$-代数作用。
• 通过稳定胞腔与$\mathscr{W}$-代数的积分形式，将AGT对应关系扩展至几何框架。

提出的方法

• 在框架$G$-丛的模空间上利用双曲限制函子，将Uhlenbeck空间上的 perverse sheaves 与 Levi 子群上的 perverse sheaves 相关联。
• 应用稳定胞腔在等变上同调中构造基，并将其与$\mathscr{W}$-模中的Whittaker向量相联系。
• 采用通过BRST复形与筛分算子构造的$\mathscr{W}$-代数方法，其积分形式在$\mathbf{A}$上定义。
• 利用Cartan子代数诱导的上同调上的Heisenberg代数作用，其生成元与典范丛相关联。
• 通过对偶基构造上同调空间上的配对，并通过几何与表示论手段证明其与庞加莱对偶性的相容性。
• 应用$R$-矩阵形式与杨-巴克斯方程，验证$\mathscr{W}$-代数作用中的对易关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将框架Uhlenbeck空间的等变交截上同调实现为$\mathscr{W}$-代数的表示？
• RQ2 在瞬子模空间背景下，庞加莱配对与Kac-Shapovalov形式的几何起源是什么？
• RQ3 模空间上的双曲限制函子如何对应于$\mathscr{W}$-代数中的代数运算？
• RQ4 稳定胞腔与Whittaker向量在构造上同调上的$\mathscr{W}$-代数作用中起什么作用？
• RQ5 如何通过BRST复形与$\mathbf{A}$-形式几何实现$\mathscr{W}$-代数的积分形式？

主要发现

• 框架Uhlenbeck空间的等变交截上同调自然地带有由稳定胞腔与双曲限制构造的$\mathscr{W}$-代数作用。
• 上同调上的庞加莱配对与$\mathscr{W}$-模上的Kac-Shapovalov形式同构，通过Whittaker向量实现。
• 上同调上的Heisenberg代数作用源于典范丛的一阶陈类，对应于$\mathscr{W}$-代数构造中的Heisenberg代数。
• $\mathscr{W}$-代数作为BRST复形中$\mathbf{A}$上积分结构的子代数实现。
• 稳定胞腔构造为上同调提供了几何基，与$\mathscr{W}$-模中的标准基相匹配，并在对偶下保持相容性。
• 通过BRST复形上的双复结构，几何构造了嵌入$\mathscr{W}_{\mathbf{A}}({\mathfrak{g}}) \to \mathscr{W}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{l})$，并与Heisenberg代数的包含关系相容。