[論文レビュー] Integrability Conditions for SDEs and Semi-Linear SPDEs

Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所的に有界でない係数をもつSDEおよび半線形SPDEにおける解の非爆発、不変確率測度の存在・一意性・正則性に関する可積分性条件を確立する。非完全なリーマン多様体上の局所的次元自由ハーナック不等式と基準半群の超合同性を活用することで、古典的なライアプノフ基準を越える条件を導出し、特にコンパクト集合上で無限大に発散するドリフトに対しても有効である。

ABSTRACT

By using the local dimension-free Harnack inequality established on incomplete Riemannian manifolds, integrability conditions on the coefficients are presented for SDEs to imply the non-explosion of solutions as well as the existence, uniqueness and regularity estimates of invariant probability measures. These conditions include a class of drifts unbounded on compact domains such that the usual Lyapunov conditions can not be verified. The main results are extended to second order differential operators on Hilbert spaces and semi-linear SPDEs.

研究の動機と目的

• 局所的に有界でないドリフトをもつSDEの解の非爆発を保証する係数に関する可積分性条件を導出すること。
• 標準的なライアプノフ条件が、コンパクト集合上で無限大に発散するドリフトのため失敗する状況において、不変確率測度の存在・一意性・正則性に関する推定を確立すること。
• SDEの結果をヒルバート空間上の2次微分作用素および半線形SPDEへと拡張すること。
• グローバルな可積分性仮定の制限を克服し、確率測度に関する条件に置き換えること。
• 不変測度が事前に未知であるSDEに適用可能な枠組みを提供し、新たな基準によってその特徴付けを可能にすること。

提案手法

• 非完全なリーマン多様体上の局所的次元自由ハーナック不等式を用いて、遷移密度の挙動を制御する。
• ギルサノフ変換を用いて弱解を構成し、ハーナック不等式を用いて非爆発性を証明する。
• 特異SDEが誘導するフェインマン＝ハインズ半群の超合同性を用いて、基準マルコフ半群の性質を制御する。
• ハーナック不等式と半群推定を用いて、不変測度の密度に関する微分公式を導出する。
• 形式 $ (P_t f(x))^p \leq P_t f^p(y) \exp\left[ \frac{F(x)\rho(x,y)^2}{t \land 1} + F(x) \right] $ の局所的ハーナック不等式を $ \rho(x,y) \leq \frac{1}{F(x)} $ に対して確立し、正則性推定を可能にする。
• 半径 $ R(x) $ の測地的球におけるコンパクト性および曲率の有界性を用いて、勾配推定における誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に有界でないドリフトをもつSDEに対して、ライアプノフ条件が失敗する場合でも、非爆発性を保証する可積分性条件を確立できるか？
• RQ2 コンパクト集合上で無限大に発散するドリフトをもつSDEにおいて、不変確率測度の存在と正則性をどのように保証できるか？
• RQ3 非完全多様体上の局所的ハーナック不等式を用いて、勾配推定および非爆発性の結果をどれほど得られるか？
• RQ4 この枠組みをヒルバート空間上の2次微分作用素および半線形SPDEへと拡張できるか？
• RQ5 ドリフトがグローバルに有界でない場合に、不変測度が存在し、正則であるための係数に関する条件は何か？

主な発見

• 形式 $ (P_t f(x))^p \leq P_t f^p(y) \exp\left[ \frac{F(x)\rho(x,y)^2}{t \land 1} + F(x) \right] $ の局所的ハーナック不等式が $ \rho(x,y) \leq \frac{1}{F(x)} $ に対して確立され、正則性推定に不可欠である。
• もし $ \delta \geq \frac{160}{R(x)} $ ならば、$ |\nabla P_t f(x)| \leq \delta E_{P_t}(f)(x) + H(x)\left( \delta + \frac{1}{\delta(t \land 1)} \right) $ が成り立ち、非完全多様体上での勾配推定が得られる。
• ギルサノフ変換と局所的ハーナック不等式を用いて、コンパクト集合上で無限大に発散するドリフトに対しても弱解の非爆発性が確立される。
• フェインマン＝ハインズ半群の超合同性を用いて、基準測度に関するドリフトの可積分性条件の下で、不変確率測度の存在が証明される。
• 不変測度の密度に関する微分公式が導出され、グローバルなライアプノフ条件が成立しない状況でも正則性推定が可能になる。
• 結果は半線形SPDEおよびヒルバート空間上の2次微分作用素へと拡張され、有限次元SDEを超える枠組みの頑健性が示された。