[論文レビュー] Integrable $\hat{\mathfrak{sl}_2}$-modules as infinite tensor products

Boris Feigin, Evgeny Feigin|ArXiv.org|May 27, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有限次元の $\mathfrak{sl}_2$-加群の融合積の無限限界（無限積）として、アフィンリー代数 $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$ の整数的最高ウェイト加群を構成する。融合積における再帰的単射および商構造を用いて、これらの加群の指標公式を導出し、量子次元のシフトに基づく組み合わせ的再帰関係を確立し、特定の $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-加群が他の加群の直和として現れることを示している。

ABSTRACT

Using the fusion product of the representations of the Lie algebra $\mathfrak{sl}_2$ we construct a set of the integrable highest weight $\hat{\mathfrak{sl}_2}$-modules $L^D$, depending on the vector $D\in\mathbb{N}^{k+1}$. In a special cases of $D$ our modules are isomorphic to the irreducible $\hat{\mathfrak{sl}_2}$-modules $L_{i,k}$. We construct a basis of the $L^D$ and study the decomposition of $L^D$ on the irreducible components. We also write a formulas for the characters of $L^D$.

研究の動機と目的

• 有限次元の $\mathfrak{sl}_2$-加群の融合積の無限限界を用いて、整数的最高ウェイト $\u005Cwidehat{\u005Cmathfrak{sl}_2}$-加群を構成すること。
• これらの加群の基底を提供し、それらの既約成分への分解を研究すること。
• 構成された加群 $L^D$ の明示的な指標公式を $q$-級数および整数列に関する組み合わせ的和を用いて導出すること。
• 融合データにおけるパrameterのシフトに基づいて、$L^D$ の指標の再帰関係を確立すること。

提案手法

• $\mathfrak{sl}_2$-加群の融合積を、$\mathfrak{sl}_2 \otimes \mathbb{C}[t]$ の普遍包あらゆる代数上の $t$-フィルトレーションに関する関連された次数付き加群として定義する。
• 次元が等しいか $a < b$ を満たす場合に、融合積間の単射準同型を構成し、明示的な商同型を示す。
• 帰納的極限の構成を導入する：$L^D = \varinjlim \mathbb{C}^{a_1} * \cdots * \mathbb{C}^{a_n} * (\mathbb{C}^{a_n})^{*2s}$（$s \to \infty$）として、$\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-加群を得る。
• 帰納的極限 $L^D$ が中央指数 $c = a_n - 1$ を持つ well-defined な $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-加群構造を持つことを証明する。
• $q$-階乗および整数列 $i_l$ が特定の不等式を満たす範囲での和を用いて、$L^D$ の指標公式を導出する。
• 再帰関係を確立する：$\mathop{\rm ch} L^D = \mathop{\rm ch} L^{D'} + q^{\frac{p(D'') - p(D)}{4} + \frac{d_s + 1}{2}} \mathop{\rm ch} L^{D''}$ で、$D'$ および $D''$ は次元ベクトルで $d_s$ が 2 増加または減少したものである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元の $\mathfrak{sl}_2$-加群の融合積を用いて、整数的 $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-加群を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 繰り返しの融合積の無限極限の構造は何か？ そして、自然な $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-作用を備えているか？
• RQ3 このような極限加群の指標は、$q$-級数および整数列に関する組み合わせ的和で表現可能か？
• RQ4 $L^D$ の指標は、次元ベクトルが変更された他の $L^{D'}$ および $L^{D''}$ 加群の指標の再帰的分解を持つだろうか？

主な発見

• 帰納的極限 $L^D = \mathbb{C}^{a_1} * \cdots * \mathbb{C}^{a_n} * (\mathbb{C}^{a_n})^{*2\infty}$ は、中央指数 $c = a_n - 1$ を持つ well-defined な $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-加群構造を持つ。
• 加群 $L^D$ の指標は、公式 $\mathop{\rm ch} L^D = \frac{q^{-p(D)/4}}{(\infty)_q} \sum \frac{z^{\sum i_l} q^{\sum i_l^2}}{\prod_{l=1}^{k-1} (i_{l+1} - i_l + \frac{d_{l+1}}{2})_q!}$ で与えられる。ここで和は、$i_l + \alpha_l \in \mathbb{Z}$ および $i_l \geq i_{l-1} - \frac{d_l}{2}$ を満たす整数列 $i_l$ についてとる。
• 指標は再帰的関係 $\mathop{\rm ch} L^D = \mathop{\rm ch} L^{D'} + q^{\frac{p(D'') - p(D)}{4} + \frac{d_s + 1}{2}} \mathop{\rm ch} L^{D''}$ を満たす。ここで $D'$ および $D''$ は、$d_s$ が 2 増加または減少した次元ベクトルである。
• この再帰関係により、$L^D \cong L^{D'} \oplus L^{D''}$ が $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$-加群として成り立つことが示され、直和分解が確立される。
• 加群 $L^D$ の指標公式は、$d_{k+1} \leq 1$ のとき、$L_{j,k}$ の既知の公式に特殊化され、[6] の結果が回復される。
• 無限極限において、$q$-階乗の比 $\frac{(d_{k+1})_q!}{(\frac{d_{k+1}}{2} + i_k)_q!} \to 1$ となることが示され、指標公式の無限極限における収束が正当化される。