[論文レビュー] Integrable light-cone lattice discretizations from the universal R-matrix

Carlo Meneghelli, J. Teschner|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、量子アフィン代数の普遍R行列を用いて、可積分な格子正則化を構築する一般枠組みを提示する。特に、アフィンToda場理論に応用している。表現論と無限次元表現に対する新規な正則化スキーム（モジュラー二重構造の導入）を用いることで、バクスターランの一般化である有限差分関数方程式を導出し、光円形格子模型における可積分性の表現論的証明を提供する。

ABSTRACT

Our goal is to develop a more general scheme for constructing integrable lattice regularisations of integrable quantum field theories. Considering the affine Toda theories as examples, we show how to construct such lattice regularisations using the representation theory of quantum affine algebras. This requires us to clarify in particular the relations between the light-cone approach to integrable lattice models and the representation theory of quantum affine algebras. Both are found to be related in a very natural way, suggesting a general scheme for the construction of generalised Baxter Q-operators. One of the main difficulties we need to deal with is coming from the infinite-dimensionality of the relevant families of representations. It is handled by means of suitable renormalisation prescriptions defining what may be called the modular double of quantum affine algebras. This framework allows us to give a representation-theoretic proof of finite-difference equations generalising the Baxter equation.

研究の動機と目的

• 可積分な量子場理論の格子正則化を構築する一般的手法を開発すること。
• 光円形格子模型と量子アフィン代数の表現論との間の関係を明確にすること。
• 量子アフィン代数における無限次元表現を、可積分性を保つ正則化規則（量子アフィン代数のモジュラー二重構造の定義）によって一貫して扱う課題を解決すること。
• 表現論的手法を用いて、バクスターランを一般化する有限差分方程式を導出すること。
• 普遍R行列から出発する一般化バクスターランQ作用素の体系的構成を確立すること。

提案手法

• 基礎的な代数的構造として、特に $\mathcal{U}_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_M)$ を用いた量子アフィン代数の普遍R行列を利用する。
• ドリンフェルトのねじれとコプロダクト構造を用いて、格子サイト上の進化作用素とR作用素を定義する。
• 虚数根生成子のための正則化規則を導入し、無限次元表現を扱う。
• 評価準同型とテンソル積表現を用いてR作用素と転送行列を構成する。
• 積公式と相互作用性を用いて、普遍R行列から基本的R作用素 $\mathsf{r}^{++}$ を導出する。
• 核の恒等式と自己双対なボルツマン重みを介して、格子Q作用素とファドデエフ＝ヴォルコフ模型との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アフィン代数の普遍R行列を、可積分な光円形格子模型を体系的に構築するためにどのように用いることができるか？
• RQ2 光円形格子の進化と、量子アフィン代数の表現論との間の明確な関係は何か？
• RQ3 量子アフィン代数における無限次元表現を、可積分性を保ちつつ一貫して正則化する方法は何か？
• RQ4 モジュラー二重構造を用いた表現論的手法から、一般化バクスターラン方程式を導出できるか？
• RQ5 統計力学における格子Q作用素とファドデエフ＝ヴォルコフ模型との関係は何か？

主な発見

• 本稿では、量子アフィン代数のモジュラー二重構造を用いて、バクスターランを一般化する有限差分方程式の表現論的証明を構築した。
• 基本的R作用素 $\mathsf{r}^{++}$ は普遍R行列から導出され、ヤン・バクスターベルの関係を満たす。
• 格子-シヌス・ゴルドン-Q作用素 $\mathsf{Q}^{\rm\scriptscriptstyle SG}$ は、係数 $a^{\rm\scriptscriptstyle SG}(\zeta)$ と $d^{\rm\scriptscriptstyle SG}(\zeta)$ を持つバクスターラン型方程式を満たし、表現論からの結果と一致する。
• 格子サイズが偶数の場合、ファドデエフ＝ヴォルコフ模型の分配関数は転送行列積の核に一致し、両模型の直接的な関係を確立した。
• Q作用素の核は特殊関数 $D_u(x)$ で表され、フーリエ変換に関して自己双対性を示す。
• 普遍R行列とモジュラー双対性を用いることで、可積分格子模型における一般化バクスターランQ作用素の統一的枠組みが提供された。